Let D be the region bounded below by the plane z = 0, above by the sphere x^2 + y^2 + z^2 = 4, and on the sides by the cylinder x^2 + y^2 = 1. Set up the triple integrals in cylindrical coordinates that give the volume of D using the following orders of integration.
d r d z d theta

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região que está limitada por três superfícies:
  • A base está no plano .
  • O topo está na esfera .
  • As laterais estão no cilindro .
Queremos encontrar o volume dessa região usando coordenadas cilíndricas e configurar a integral tripla na ordem . Para resolver isso, vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como expressar essas superfícies nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as coordenadas cilíndricas. Em cilindros, usamos , e , onde:
  • é a distância radial do eixo .
  • é o ângulo no plano .
  • é a mesma coordenada nas coordenadas cartesianas.
As equações das superfícies no sistema cilíndrico ficam:
  • O cilindro vira .
  • A esfera vira , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável na ordem .
  1. Para : A área está completa em torno do cilindro, então varia de a .
  2. Para : A base está no plano e o topo está na esfera, que em coordenadas cilíndricas é . Então, varia de a .
  3. Para : O cilindro limita radialmente, então varia de a .

Passo 4

A fórmula para a integral tripla em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, o fator vem do jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Substituindo os limites que encontramos:
  • vai de a .
  • vai de a .
  • vai de a .
Então, a integral fica:

Resposta

A integral tripla configurada em coordenadas cilíndricas na ordem é:

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