Let
be the region bounded below by the plane
, above by the sphere
, and on the sides by the cylinder
. Set up the triple integrals in cylindrical coordinates that give the volume of
using the following orders of integration.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região
que está limitada por três superfícies:
- A base está no plano
. - O topo está na esfera
. - As laterais estão no cilindro
.
Queremos encontrar o volume dessa região usando coordenadas cilíndricas e configurar a integral tripla na ordem
. Para resolver isso, vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como expressar essas superfícies nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as coordenadas cilíndricas. Em cilindros, usamos
,
e
, onde:
-
é a distância radial do eixo . -
é o ângulo no plano . -
é a mesma coordenada nas coordenadas cartesianas.
As equações das superfícies no sistema cilíndrico ficam:
- O cilindro
vira . - A esfera
vira , ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável na ordem
.
- Para
: A área está completa em torno do cilindro, então varia de a . - Para
: A base está no plano e o topo está na esfera, que em coordenadas cilíndricas é . Então, varia de a . - Para
: O cilindro limita radialmente, então varia de a .
Passo 4
A fórmula para a integral tripla em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, o fator
vem do jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Substituindo os limites que encontramos:
-
vai de a . -
vai de a . -
vai de a .
Então, a integral fica:
Resposta
A integral tripla configurada em coordenadas cilíndricas na ordem
é:
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,
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.
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, onde
é uma função positiva e
. O volume gerado pela parte da curva de
a
é
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. Encontre a função
.