Econtrar o fluxo do campo vetorial A por superfície de uma esfera de raio R e com seu centro na origem, onde o campo escrito nas coordenadas esfericas é A = e_r * k * r^3, r = raiz(x^2 + y^2 + z^2), k é constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial através de uma superfície esférica de raio com centro na origem. O campo está dado em coordenadas esféricas como , onde é uma constante e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é uma medida de quanto desse campo “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde é o vetor normal à superfície e é o elemento de área.

Passo 3

No nosso caso, a superfície é uma esfera de raio centrada na origem. Em coordenadas esféricas, o vetor normal à superfície de uma esfera é simplesmente o vetor radial . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Porque o vetor tem módulo 1 e é perpendicular aos demais vetores unitários.

Passo 5

Em coordenadas esféricas, o elemento de área na esfera de raio é dado por:
onde é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.

Passo 6

Agora, substituímos e na expressão do fluxo:

Passo 7

Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro integramos em relação a :
Depois, em relação a :
Então, o resultado da integral dupla é:

Passo 8

Finalmente, substituímos de volta na expressão do fluxo:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da esfera de raio é .

Exercícios relacionados

Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
div(f(r) r)
onde r = i x + j y + k z, f(r) é uma função arbitrária do argumento r = raiz(x^2 + y^2 + z^2).
Sphere and cones Find the volume of the portion of the solid sphere rho <= a that lies between the cones phi = pi / 3 and phi = 2 * pi / 3.
Let D be the region bounded below by the plane z = 0, above by the sphere x^2 + y^2 + z^2 = 4, and on the sides by the cylinder x^2 + y^2 = 1. Set up the triple integrals in cylindrical coordinates that give the volume of D using the following orders of integration.
d r d z d theta
Cylinder and cones Find the volume of the solid cut from the thick-walled cylinder 1 <= x^2 + y^2 <= 2 by the cones z = +- raiz(x^2 + y^2)