Econtrar o fluxo do campo vetorial
por superfície de uma esfera de raio
e com seu centro na origem, onde o campo escrito nas coordenadas esfericas é
,
é constante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial
através de uma superfície esférica de raio
com centro na origem. O campo está dado em coordenadas esféricas como
, onde
é uma constante e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
é uma medida de quanto desse campo “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde
é o vetor normal à superfície e
é o elemento de área.
Passo 3
No nosso caso, a superfície
é uma esfera de raio
centrada na origem. Em coordenadas esféricas, o vetor normal
à superfície de uma esfera é simplesmente o vetor radial
. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Porque o vetor
tem módulo 1 e é perpendicular aos demais vetores unitários.
Passo 5
Em coordenadas esféricas, o elemento de área
na esfera de raio
é dado por:
onde
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal.
Passo 6
Agora, substituímos
e
na expressão do fluxo:
Passo 7
Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro integramos em relação a
:
Depois, em relação a
:
Então, o resultado da integral dupla é:
Passo 8
Finalmente, substituímos de volta na expressão do fluxo:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da esfera de raio
é
.