Econtrar o fluxo do campo vetorial A por superfície de uma esfera de raio R e com seu centro na origem, onde o campo escrito nas coordenadas esfericas é A = e_r * k * r^3, r = raiz(x^2 + y^2 + z^2), k é constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial através de uma superfície esférica de raio com centro na origem. O campo está dado em coordenadas esféricas como , onde é uma constante e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é uma medida de quanto desse campo “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde é o vetor normal à superfície e é o elemento de área.

Passo 3

No nosso caso, a superfície é uma esfera de raio centrada na origem. Em coordenadas esféricas, o vetor normal à superfície de uma esfera é simplesmente o vetor radial . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Porque o vetor tem módulo 1 e é perpendicular aos demais vetores unitários.

Passo 5

Em coordenadas esféricas, o elemento de área na esfera de raio é dado por:
onde é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.

Passo 6

Agora, substituímos e na expressão do fluxo:

Passo 7

Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro integramos em relação a :
Depois, em relação a :
Então, o resultado da integral dupla é:

Passo 8

Finalmente, substituímos de volta na expressão do fluxo:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da esfera de raio é .

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