Econtrar o fluxo do campo vetorial
por superfície de uma esfera de raio
e com seu centro na origem, onde o campo escrito nas coordenadas esfericas é
,
é constante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial
através de uma superfície esférica de raio
com centro na origem. O campo está dado em coordenadas esféricas como
, onde
é uma constante e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
é uma medida de quanto desse campo “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde
é o vetor normal à superfície e
é o elemento de área.
Passo 3
No nosso caso, a superfície
é uma esfera de raio
centrada na origem. Em coordenadas esféricas, o vetor normal
à superfície de uma esfera é simplesmente o vetor radial
. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Porque o vetor
tem módulo 1 e é perpendicular aos demais vetores unitários.
Passo 5
Em coordenadas esféricas, o elemento de área
na esfera de raio
é dado por:
onde
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal.
Passo 6
Agora, substituímos
e
na expressão do fluxo:
Passo 7
Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro integramos em relação a
:
Depois, em relação a
:
Então, o resultado da integral dupla é:
Passo 8
Finalmente, substituímos de volta na expressão do fluxo:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da esfera de raio
é
.
Exercícios relacionados
Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
onde
é uma função arbitrária do argumento
.
Sphere and cones Find the volume of the portion of the solid sphere
that lies between the cones
and
.
Let
be the region bounded below by the plane
, above by the sphere
, and on the sides by the cylinder
. Set up the triple integrals in cylindrical coordinates that give the volume of
using the following orders of integration.
Cylinder and cones Find the volume of the solid cut from the thick-walled cylinder
by the cones