Sugestão: Faça a seguinte substituição de variáveis:
.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exlusivamente da variável radial.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exlusivamente da variável radial.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que envolve a função
e sua derivada em relação a
. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais ordinárias, e para resolver essa, a sugestão é fazer uma substituição de variável:
. Isso vai ajudar a simplificar a equação e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a substituição sugerida:
. Isso significa que estamos mudando a variável independente de
para
. Com essa substituição, precisamos expressar as derivadas de
em relação a
como derivadas em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias usando a regra da cadeia. Seja
, então:
A primeira derivada de
em relação a
é:
Sabemos que
, então
e
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Como
, temos:
Passo 5
Vamos substituir essas expressões na equação diferencial original:
Substituindo:
Simplificando:
Os termos de
se cancelam:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
A solução dessa equação é uma função
cuja segunda derivada é zero, ou seja, uma função linear:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 7
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições de contorno do problema.