d^2d r^2 u(r)+1r dd r u(r)=0
Sugestão: Faça a seguinte substituição de variáveis: r=e^x.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exlusivamente da variável radial.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que envolve a função e sua derivada em relação a . O conteúdo principal aqui é equações diferenciais ordinárias, e para resolver essa, a sugestão é fazer uma substituição de variável: . Isso vai ajudar a simplificar a equação e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a substituição sugerida: . Isso significa que estamos mudando a variável independente de para . Com essa substituição, precisamos expressar as derivadas de em relação a como derivadas em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias usando a regra da cadeia. Seja dudr = dudx cdot dxdr , então:
A primeira derivada de dudr = 1r dudx em relação a é:
Sabemos que , então e . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de d^2udr^2 = ddr( dudr ) = ddr( 1r dudx ) em relação a d^2udr^2 = -1r^2 dudx + 1r d^2udx^2 cdot dxdr :
d^2udr^2 = -1r^2 dudx + 1r^2 d^2udx^2
Aplicando a regra do produto:
Como , temos:

Passo 5

Vamos substituir essas expressões na equação diferencial original:
d^2udr^2 + 1r dudr = 0
Substituindo:
( -1r^2 dudx + 1r^2 d^2udx^2 ) + 1r ( 1r dudx ) = 0
Simplificando:
-1r^2 dudx + 1r^2 d^2udx^2 + 1r^2 dudx = 0
Os termos de 1r^2 d^2udx^2 = 0 se cancelam:
d^2udx^2 = 0
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
d^2udx^2 = 0
A solução dessa equação é uma função u(x) = A x + B cuja segunda derivada é zero, ou seja, uma função linear:
onde e são constantes de integração.

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição u(r) = A ln(r) + B , vamos voltar para a variável original . Sabemos que , então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
u(r) = A ln(r) + B
onde e são constantes determinadas pelas condições de contorno do problema.

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