d^2d r^2 u(r)+1r dd r u(r)=0
Sugestão: Faça a seguinte substituição de variáveis: r=e^x.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exclusivamente da variável radial.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
d^2d r^2 u(r) + 1r dd r u(r) = 0
Estamos lidando com equações diferenciais, que aparecem muito quando queremos modelar como algo muda com relação a uma variável, neste caso, a variável radial . Para resolver essa equação, vamos usar uma substituição de variáveis, especificamente , como sugerido.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição dudr = dudx cdot dxdr = dudx cdot 1r . Isso significa que d^2udr^2 = ddr ( dudx cdot 1r ) = d^2udx^2 cdot ( 1r )^2 - dudx cdot 1r^2 . Agora, precisamos expressar as derivadas em termos de em vez de .
Sabemos que:
E para a segunda derivada:

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões na equação original:
d^2udr^2 + 1r dudr = 0
Substituindo:
( d^2udx^2 cdot 1r^2 - dudx cdot 1r^2 ) + 1r ( dudx cdot 1r ) = 0
Simplificando:
1r^2 d^2udx^2 - 1r^2 dudx + 1r^2 dudx = 0
Os termos d^2udx^2 = 0 e se cancelam, restando:

Passo 4

Agora, temos uma equação muito mais simples:
d^2udx^2 = 0
Para resolver, vamos integrar uma vez em relação a dudx = C1 :
u(x) = C1 x + C2
Onde é uma constante de integração. Integrando novamente:
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Lembremos que fizemos a substituição u(r) = C1 ln r + C2 , então precisamos voltar para a variável original . Sabemos que , então substituindo:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
u(r) = C1 ln r + C2
Onde e são constantes de integração.

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