Sugestão: Faça a seguinte substituição de variáveis:
.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exclusivamente da variável radial.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exclusivamente da variável radial.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Estamos lidando com equações diferenciais, que aparecem muito quando queremos modelar como algo muda com relação a uma variável, neste caso, a variável radial
. Para resolver essa equação, vamos usar uma substituição de variáveis, especificamente
, como sugerido.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Isso significa que
. Agora, precisamos expressar as derivadas em termos de
em vez de
.
Sabemos que:
E para a segunda derivada:
Passo 3
Agora, substituímos essas expressões na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam, restando:
Passo 4
Agora, temos uma equação muito mais simples:
Para resolver, vamos integrar uma vez em relação a
:
Onde
é uma constante de integração. Integrando novamente:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Lembremos que fizemos a substituição
, então precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então substituindo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes de integração.
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(b) para
.
(b)
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