Sugestão: Faça a seguinte substituição de variáveis: .
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exclusivamente da variável radial.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Estamos lidando com equações diferenciais, que aparecem muito quando queremos modelar como algo muda com relação a uma variável, neste caso, a variável radial . Para resolver essa equação, vamos usar uma substituição de variáveis, especificamente , como sugerido.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, precisamos expressar as derivadas em termos de em vez de .
Sabemos que:
E para a segunda derivada:

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Os termos e se cancelam, restando:

Passo 4

Agora, temos uma equação muito mais simples:
Para resolver, vamos integrar uma vez em relação a :
Onde é uma constante de integração. Integrando novamente:
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Lembremos que fizemos a substituição , então precisamos voltar para a variável original . Sabemos que , então substituindo:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes de integração.

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