Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço:
(b) x=1-t^2 e y=t-2 para t in[-2,2] cdot x=-y^2-4 y-3.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão. Temos uma curva que é dada por duas equações parametrizadas: x=1-t^2 e y=t-2, onde o parâmetro t varia de -2 a 2. O objetivo aqui é encontrar a equação cartesiana da curva, que é uma expressão que relaciona x e y sem o parâmetro t. Além disso, vamos fazer um esboço dessa curva. Para resolver isso, precisamos isolar o parâmetro t em uma das equações e substituí-lo na outra.

Passo 2

Vamos começar isolando t na equação para y. A equação é y = t - 2. Para deixar o t sozinho, basta somar 2 em ambos os lados:
y + 2 = t
Agora temos t em termos de y: t = y + 2.

Passo 3

Agora que temos t, vamos substituir essa expressão na equação para x. Lembre-se que a equação para x é x = 1 - t^2. Vamos substituir t por y + 2:
x = 1 - (y + 2)^2
Agora precisamos expandir (y + 2)^2. Usando a fórmula do quadrado do binômio, temos:
(y + 2)^2 = y^2 + 4y + 4
Então, substituindo na equação:
x = 1 - (y^2 + 4y + 4)
Isso simplifica para:
x = 1 - y^2 - 4y - 4
Agora podemos juntar os termos:
x = -y^2 - 4y - 3

Resposta

A equação cartesiana da curva parametrizada é x = -y^2 - 4y - 3.

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