Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço:
(b)
para
.
(b)
Passo 1
Vamos resumir o enunciado da questão. Temos uma curva que é dada por duas equações parametrizadas:
e
, onde o parâmetro
varia de
a
. O objetivo aqui é encontrar a equação cartesiana da curva, que é uma expressão que relaciona
e
sem o parâmetro
. Além disso, vamos fazer um esboço dessa curva. Para resolver isso, precisamos isolar o parâmetro
em uma das equações e substituí-lo na outra.
Passo 2
Vamos começar isolando
na equação para
. A equação é
. Para deixar o
sozinho, basta somar
em ambos os lados:
Agora temos
em termos de
:
.
Passo 3
Agora que temos
, vamos substituir essa expressão na equação para
. Lembre-se que a equação para
é
. Vamos substituir
por
:
Agora precisamos expandir
. Usando a fórmula do quadrado do binômio, temos:
Então, substituindo na equação:
Isso simplifica para:
Agora podemos juntar os termos:
Resposta
A equação cartesiana da curva parametrizada é
.
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Sugestão: Faça a seguinte substituição de variáveis:
.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exclusivamente da variável radial.
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Faça uma correspondente entre a equação e seu gráfico (identificado por I-VIII). Justifique sua escolha.
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
(Valor: 1,54 pt.) Encontre a solução da equação diferencial:
Sugestão: Faça a seguinte substituição de variáveis:
.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exlusivamente da variável radial.
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