Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço:
(b) para .

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão. Temos uma curva que é dada por duas equações parametrizadas: e , onde o parâmetro varia de a . O objetivo aqui é encontrar a equação cartesiana da curva, que é uma expressão que relaciona e sem o parâmetro . Além disso, vamos fazer um esboço dessa curva. Para resolver isso, precisamos isolar o parâmetro em uma das equações e substituí-lo na outra.

Passo 2

Vamos começar isolando na equação para . A equação é . Para deixar o sozinho, basta somar em ambos os lados:
Agora temos em termos de : .

Passo 3

Agora que temos , vamos substituir essa expressão na equação para . Lembre-se que a equação para é . Vamos substituir por :
Agora precisamos expandir . Usando a fórmula do quadrado do binômio, temos:
Então, substituindo na equação:
Isso simplifica para:
Agora podemos juntar os termos:

Resposta

A equação cartesiana da curva parametrizada é .

Exercícios relacionados

Sugestão: Faça a seguinte substituição de variáveis: .
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exclusivamente da variável radial.
Faça uma correspondente entre a equação e seu gráfico (identificado por I-VIII). Justifique sua escolha.
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
(Valor: 1,54 pt.) Encontre a solução da equação diferencial:
Sugestão: Faça a seguinte substituição de variáveis: .
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exlusivamente da variável radial.