Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para que a gente estude a função
. Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é aquela em que temos um numerador e um denominador. Para resolver isso, vamos precisar entender o domínio da função, seus limites, onde ela é crescente ou decrescente, e vamos identificar também pontos de máximos, mínimos, inflexões, concavidades e assintotas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é a parte dos números que podemos usar. Como estamos lidando com uma função que tem um denominador, precisamos garantir que esse denominador não seja zero, pois não podemos dividir por zero.
Para isso, vamos igualar o denominador a zero:
Resolvendo isso, obtemos:
Portanto, esses valores não estão no domínio da função. Assim, o domínio da função é:
ou seja, todos os números reais exceto -3 e 3.
Passo 3
Agora que sabemos qual é o domínio, vamos encontrar as assintotas. Para funções racionais, as assintotas verticais ocorrem onde o denominador é zero (e onde a função não está definida). Então, como vimos, temos assintotas verticais em
e
.
Para encontrar as assintotas horizontais, precisamos olhar para o comportamento da função quando
tende a infinito (positivo e negativo). Quando
tende à infinito, o que importa é o grau do numerador e do denominador. Aqui, o grau do numerador é 1 e do denominador é 2, então:
Portanto, temos uma assintota horizontal em
Passo 4
Com as assintotas em mente, vamos determinar a derivada da função para achar onde ela é crescente ou decrescente. Vamos usar a regra do quociente, que é:
Aqui,
e
. Calculando as derivadas:
Agora substituindo na fórmula da derivada:
Simplificando, teremos:
Para saber onde a função é crescente ou decrescente, precisamos olhar para o numerador da derivada. Vamos igualar
. Isso é uma função quadrática, e podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
Calculando:
Então temos duas raízes:
Agora, vamos aos intervalos. Precisamos considerar os pontos
e
, que são as assintotas, e os zeros da derivada
e
. Vamos dividir a reta em intervalos baseados nesses pontos:
,
,
,
,
.
Testando cada intervalo, você vai descobrir que:
- Em
a função é crescente. - Em
a função é decrescente. - Em
a função é crescente. - Em
a função é decrescente. - Em
a função é crescente.
Assim, temos um máximo em
e um mínimo em
.
Passo 5
Agora, vamos identificar os intervalos de concavidade. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada
. Como é um pouco mais complicado, vamos apenas citar que os pontos de inflexão ocorrem onde
(ainda precisamos calcular isso com calma depois). O que precisamos saber agora é que, normalmente, a concavidade muda em torno do ponto em que a derivada muda de sinal (ou seja, em
e
).
Resposta
Em resumo, o domínio da função é
, as assintotas verticais acontecem em
e
, e a assintota horizontal em
. A função é crescente nos intervalos
,
e
, e decrescente em
e
. Temos um ponto máximo em
e um mínimo em
.
Exercícios relacionados
Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço:
(b) para
.
(b)
Sugestão: Faça a seguinte substituição de variáveis:
.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exclusivamente da variável radial.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exclusivamente da variável radial.
(Valor: 1,54 pt.) Encontre a solução da equação diferencial:
Sugestão: Faça a seguinte substituição de variáveis:
.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exlusivamente da variável radial.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exlusivamente da variável radial.
S.ja
e
.
a) Ordene os sistemas de acordo com o módulo da força exercida pela casca sobre a particula, em ordem decrescente.
a) Ordene os sistemas de acordo com o módulo da força exercida pela casca sobre a particula, em ordem decrescente.