Faça uma correspondente entre a equação e seu gráfico (identificado por I-VIII). Justifique sua escolha. -x^2+y^2-z^2=1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma equação -x^2+y^2-z^2=1 e precisamos relacioná-la com um gráfico, que pode ser identificado de I a VIII. A matéria aqui é geometria analítica e, mais especificamente, estamos lidando com superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos analisar a equação para entender que figura geométrica ela representa.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação para facilitar a nossa análise. Podemos rearranjar a equação para a forma y^2 = x^2 + z^2 + 1. Agora, isso fica mais claro: a equação mostra que y depende de x e z. Ao fazer isso, o que notamos é que, para cada valor fixo de y, temos uma “seção transversal” que é dada pela equação x^2 + z^2 = y^2 - 1.

Passo 3

Agora, se o lado direito da equação for positivo ( y^2 - 1 > 0), teremos uma relação válida. Isso implica que y deve ser maior que 1 ou menor que -1. O que isso significa é que, quando desenharmos esse gráfico, vamos perceber que ele forma uma superfície que se expande a partir de duas “famílias” de círculo (cilindros ou cones), uma acima e outra abaixo do plano y=0. Na verdade, essa figura se assemelha a dois cones invertidos, que se encontram na linha que passa pelo eixo y.

Passo 4

Para escolher os gráficos correspondentes até que encontremos um que mostre essa forma “cônica”, vamos analisar as opções que temos de I a VIII e ver qual delas se alinha com essa descrição. A característica mais marcante é que, ao variar y, obtemos círculos cuja dimensão depende de y. Gráficos que mostram essa forma cônica ou circular em relação ao eixo y devem ser os nossos escolhidos.

Resposta

A escolha correta seria o gráfico que representa dois cones opostos ao longo do eixo y, pois a equação -x^2+y^2-z^2=1 descreve essa superfície cônica.

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