Faça uma correspondente entre a equação e seu gráfico (identificado por I-VIII). Justifique sua escolha.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma equação e precisamos relacioná-la com um gráfico, que pode ser identificado de I a VIII. A matéria aqui é geometria analítica e, mais especificamente, estamos lidando com superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos analisar a equação para entender que figura geométrica ela representa.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação para facilitar a nossa análise. Podemos rearranjar a equação para a forma . Agora, isso fica mais claro: a equação mostra que depende de e . Ao fazer isso, o que notamos é que, para cada valor fixo de , temos uma “seção transversal” que é dada pela equação .

Passo 3

Agora, se o lado direito da equação for positivo ( ), teremos uma relação válida. Isso implica que deve ser maior que 1 ou menor que -1. O que isso significa é que, quando desenharmos esse gráfico, vamos perceber que ele forma uma superfície que se expande a partir de duas “famílias” de círculo (cilindros ou cones), uma acima e outra abaixo do plano . Na verdade, essa figura se assemelha a dois cones invertidos, que se encontram na linha que passa pelo eixo .

Passo 4

Para escolher os gráficos correspondentes até que encontremos um que mostre essa forma “cônica”, vamos analisar as opções que temos de I a VIII e ver qual delas se alinha com essa descrição. A característica mais marcante é que, ao variar , obtemos círculos cuja dimensão depende de . Gráficos que mostram essa forma cônica ou circular em relação ao eixo devem ser os nossos escolhidos.

Resposta

A escolha correta seria o gráfico que representa dois cones opostos ao longo do eixo , pois a equação descreve essa superfície cônica.

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