Dois vetores são dados por a=3,0 i+5,0 j e b=2,0 i+4,0 j. Determine (a) a times b, (b) a cdot b, © (a) a ) cdot b e (d) a componente de a em relação a b. [Sugestäo: para resolver o item (d), considere a Eq. 3-20 e a Fig. 3-18.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores que envolve produtos vetoriais e escalares, além de encontrar a componente de um vetor em relação ao outro. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto cruzado ( a times b), o produto escalar ( a cdot b) e a componente de um vetor em relação a outro. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto cruzado entre a e b. O produto cruzado de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais e sua magnitude é dada por:
a times b = ax by - ay bx
Para nossos vetores:
a = 3,0, i + 5,0, j
b = 2,0, i + 4,0, j
Aplicando a fórmula:
a times b = (3,0)(4,0) - (5,0)(2,0) = 12,0 - 10,0 = 2,0
Como estamos trabalhando no plano, o vetor resultante estará na direção k, então:
a times b = 2,0, k

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre a e b. O produto escalar mede o quanto dois vetores estão alinhados e é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by
Aplicando os valores:
a cdot b = (3,0)(2,0) + (5,0)(4,0) = 6,0 + 20,0 = 26,0

Passo 4

No item ©, parece que está pedindo para calcular algo relacionado aos vetores a e b. Como está um pouco confuso, vamos considerar que seja uma continuação do produto escalar ou cruzado. Se for o produto escalar novamente, já resolvemos no passo anterior. Caso seja outra operação, por favor, verifique o enunciado original.

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar a componente de a em relação a b. Isso significa determinar quanto de a está na direção de b. A fórmula para a componente de a em b é:
Componente de a em b = a cdot b|b|
Primeiro, precisamos calcular a magnitude de b:
|b| = raizbx^2 + by^2 = raiz(2,0)^2 + (4,0)^2 = raiz4 + 16 = raiz20 approx 4,4721
Agora, aplicamos a fórmula:
Componente de a em b = 26,04,4721 approx 5,81

Resposta

(a) a times b = 2,0, k
(b) a cdot b = 26,0
© (Dependendo do enunciado, pode estar repetindo o item (a) ou (b). Por favor, verifique.)
(d) A componente de a em relação a b é aproximadamente 5,81

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