(a) Como, em uma integral tripla, mudar de coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa transformar uma integral tripla de coordenadas retangulares (ou cartesianas) para coordenadas cilíndricas. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, especificamente sobre mudanças de coordenadas em integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter as coordenadas e como ajustar o elemento de volume na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas retangulares e cilíndricas se relacionam. Nas coordenadas retangulares, a gente tem (x, y, z). Já nas cilíndricas, usamos (r, θ, z), onde:
  • é a distância do ponto até o eixo z,
  • é o ângulo no plano xy,
  • continua sendo o mesmo nas duas coordenadas.

Passo 3

Agora, precisamos ajustar o elemento de volume para passar de rectangulares para cilíndricas. Nas coordenadas retangulares, o elemento de volume é . Nas cilíndricas, ele se transforma em . Esse fator extra de aparece por causa da maneira como as áreas se expandem quando a gente muda de coordenadas.

Passo 4

Vamos agora reescrever a integral tripla. Suponha que a integral em coordenadas retangulares seja:
Para mudar para coordenadas cilíndricas, substituímos x e y por e , respectivamente, e o elemento de volume por . Então, a integral fica:
Onde é a região na coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Por fim, precisamos ajustar os limites de integração conforme a região V está descrita nas novas coordenadas cilíndricas. Isso geralmente envolve determinar os limites de r, θ e z que descrevem a mesma região que a integral original.

Resposta

Para mudar uma integral tripla de coordenadas retangulares para cilíndricas, substituímos e por e , respectivamente, e o elemento de volume passa a ser . Assim, a integral fica:

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