(d) Encontre a matriz de mudança da base para a base .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas bases, chamadas e , em um espaço vetorial (tipo ). O que a gente precisa encontrar é a matriz que faz a mudança de base de para . Isso significa que essa matriz vai ajudar a transformar as coordenadas de um vetor que está na base para a base . Para resolver isso, vamos precisar saber como são constituídas as bases e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base é basicamente um conjunto de vetores que “geram” todo o espaço vetorial, e cada vetor nesse espaço pode ser escrito de forma única como combinação linear desses vetores da base. Então, supondo que as bases e sejam dadas por:
Passo 3
O próximo passo é expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base . Ou seja, para cada em , encontramos escalares tais que:
Passo 4
Esses coeficientes vão formar a matriz de mudança de base . Cada coluna de corresponde aos coeficientes que representam um vetor de na base . Então, a matriz fica assim:
Passo 5
Finalmente, com todos os coeficientes organizados na matriz , essa matriz será a que faz a transformação das coordenadas de para . Ou seja, se você tiver um vetor com coordenadas na base , multiplicando por você obterá as coordenadas desse vetor na base :
Resposta
A matriz de mudança de base de para é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de expressos na base , ou seja: