(d) Encontre a matriz Q de mudança da base S2 para a base S1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas bases, chamadas S1 e S2, em um espaço vetorial (tipo R^n). O que a gente precisa encontrar é a matriz Q que faz a mudança de base de S2 para S1. Isso significa que essa matriz vai ajudar a transformar as coordenadas de um vetor que está na base S2 para a base S1. Para resolver isso, vamos precisar saber como são constituídas as bases S1 e S2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base é basicamente um conjunto de vetores que “geram” todo o espaço vetorial, e cada vetor nesse espaço pode ser escrito de forma única como combinação linear desses vetores da base. Então, supondo que as bases S1 e S2 sejam dadas por:
S1 = v1, v2, dots, vn
S2 = w1, w2, dots, wn

Passo 3

O próximo passo é expressar cada vetor da base S2 em termos dos vetores da base S1. Ou seja, para cada wi em S2, encontramos escalares a1i, a2i, dots, ani tais que:
wi = a1iv1 + a2iv2 + dots + anivn

Passo 4

Esses coeficientes aji vão formar a matriz de mudança de base Q. Cada coluna de Q corresponde aos coeficientes que representam um vetor de S2 na base S1. Então, a matriz Q fica assim:
Q = a11 & a12 & dots & a1n a21 & a22 & dots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots an1 & an2 & dots & ann

Passo 5

Finalmente, com todos os coeficientes organizados na matriz Q, essa matriz será a que faz a transformação das coordenadas de S2 para S1. Ou seja, se você tiver um vetor x com coordenadas na base S2, multiplicando por Q você obterá as coordenadas desse vetor na base S1:
[x]S1 = Q cdot [x]S2

Resposta

A matriz de mudança de base Q de S2 para S1 é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de S2 expressos na base S1, ou seja:
Q = a11 & a12 & dots & a1n a21 & a22 & dots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots an1 & an2 & dots & ann

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