(d) Encontre a matriz de mudança da base para a base .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas bases, chamadas e , em um espaço vetorial (tipo ). O que a gente precisa encontrar é a matriz que faz a mudança de base de para . Isso significa que essa matriz vai ajudar a transformar as coordenadas de um vetor que está na base para a base . Para resolver isso, vamos precisar saber como são constituídas as bases e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base é basicamente um conjunto de vetores que “geram” todo o espaço vetorial, e cada vetor nesse espaço pode ser escrito de forma única como combinação linear desses vetores da base. Então, supondo que as bases e sejam dadas por:

Passo 3

O próximo passo é expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base . Ou seja, para cada em , encontramos escalares tais que:

Passo 4

Esses coeficientes vão formar a matriz de mudança de base . Cada coluna de corresponde aos coeficientes que representam um vetor de na base . Então, a matriz fica assim:

Passo 5

Finalmente, com todos os coeficientes organizados na matriz , essa matriz será a que faz a transformação das coordenadas de para . Ou seja, se você tiver um vetor com coordenadas na base , multiplicando por você obterá as coordenadas desse vetor na base :

Resposta

A matriz de mudança de base de para é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de expressos na base , ou seja:

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Encontre uma base do subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2:
Mostre que em , o conjunto de vetores
é linearmente independente se, e somente se, o determinante da matriz formada por esses vetores for não-nulo:
Encontre uma base do requinte subespaço das matrizes .
Mostre que se e são auto-vetores de uma transformação linear associados a , então é também um auto-vetor associado ao mesmo .