Encontre uma base do requinte subespaço das matrizes
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Queremos encontrar uma base para um subespaço das matrizes
. A condição dada é que
, onde
,
, e
são os elementos da matriz. A matéria aqui é álgebra linear, especificamente sobre subespaços e bases. Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e dimensões de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz geral
que satisfaz a condição dada:
Com a condição
, podemos resolver para uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, vamos resolver para
:
Passo 3
Agora, substituímos
na matriz:
Isso mostra que a matriz depende de três variáveis livres:
,
e
.
Passo 4
Vamos expressar a matriz em termos dessas variáveis livres:
Isso significa que qualquer matriz no subespaço pode ser escrita como uma combinação linear dessas três matrizes.
Passo 5
Para encontrar uma base, precisamos de um conjunto de matrizes que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço. As matrizes que encontramos já são candidatas, mas vamos verificar a independência linear.
Passo 6
As matrizes:
são linearmente independentes porque nenhuma delas pode ser escrita como combinação das outras. Portanto, formam uma base para o subespaço.
Resposta
Uma base para o subespaço dado é formada pelas matrizes: