Encontre uma base do requinte subespaço das matrizes 2 times 2.
[ll a & b c & d ]: a+b-2 c=0 subset M2 times 2(R)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Queremos encontrar uma base para um subespaço das matrizes . A condição dada é que , onde , , e são os elementos da matriz. A matéria aqui é álgebra linear, especificamente sobre subespaços e bases. Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e dimensões de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz geral a & b c & d que satisfaz a condição dada:
a = -b + 2c
Com a condição , podemos resolver para uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, vamos resolver para :

Passo 3

Agora, substituímos -b + 2c & b c & d na matriz:
Isso mostra que a matriz depende de três variáveis livres: , e .

Passo 4

Vamos expressar a matriz em termos dessas variáveis livres:
-b + 2c & b c & d = b -1 & 1 0 & 0 + c 2 & 0 1 & 0 + d 0 & 0 0 & 1
Isso significa que qualquer matriz no subespaço pode ser escrita como uma combinação linear dessas três matrizes.

Passo 5

Para encontrar uma base, precisamos de um conjunto de matrizes que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço. As matrizes que encontramos já são candidatas, mas vamos verificar a independência linear.

Passo 6

As matrizes:
-1 & 1 0 & 0 , 2 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1
são linearmente independentes porque nenhuma delas pode ser escrita como combinação das outras. Portanto, formam uma base para o subespaço.

Resposta

Uma base para o subespaço dado é formada pelas matrizes:
-1 & 1 0 & 0 , 2 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1

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