Mostre que em R^3, o conjunto de vetores
é linearmente independente se, e somente se, o determinante da matriz formada por esses vetores for não-nulo:
a e i+b f g+c d h-h f a-i d b-g e c neq 0

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear que quer mostrar uma relação entre a independência linear de vetores em e o determinante de uma matriz formada por esses vetores. O conteúdo que vamos usar envolve conceitos de vetores, matrizes e determinantes. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como calcular o determinante de uma matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que vetores são linearmente independentes. Em , três vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Ou seja, se temos vetores , , e , eles são independentes se a única solução para é .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre determinantes. O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de co-fatores. Ele nos dá uma medida de quanto a matriz “escala” o espaço. Se o determinante for zero, significa que a matriz não é invertível e que os vetores que formam suas colunas (ou linhas) são linearmente dependentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz com os vetores dados. Suponha que temos três vetores em u = a d g , v = b e h , w = c f i :
M = a & b & c d & e & f g & h & i
A matriz formada por esses vetores como colunas é:

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz det(M) = a e i + b f g + c d h - c e g - b d i - a f h . A fórmula para o determinante de uma matriz é:
Esse determinante é exatamente a expressão que o exercício nos deu.

Passo 6

Agora, segundo a teoria, se o determinante de é diferente de zero ( ), então os vetores coluna de são linearmente independentes. Isso porque um determinante não nulo indica que a matriz é invertível e que não há combinação linear não trivial dos vetores que resulte no vetor zero.

Passo 7

Portanto, mostramos que os vetores em a e i + b f g + c d h - h f a - i d b - g e c neq 0 são linearmente independentes se e somente se o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero. Ou seja,

Resposta

Assim, concluímos que em , o conjunto de vetores é linearmente independente se, e somente se, .

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