Mostre que em , o conjunto de vetores
é linearmente independente se, e somente se, o determinante da matriz formada por esses vetores for não-nulo:
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear que quer mostrar uma relação entre a independência linear de vetores em e o determinante de uma matriz formada por esses vetores. O conteúdo que vamos usar envolve conceitos de vetores, matrizes e determinantes. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como calcular o determinante de uma matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que vetores são linearmente independentes. Em , três vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Ou seja, se temos vetores , , e , eles são independentes se a única solução para é .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre determinantes. O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de co-fatores. Ele nos dá uma medida de quanto a matriz “escala” o espaço. Se o determinante for zero, significa que a matriz não é invertível e que os vetores que formam suas colunas (ou linhas) são linearmente dependentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz com os vetores dados. Suponha que temos três vetores em :
A matriz formada por esses vetores como colunas é:
Passo 5
Vamos calcular o determinante dessa matriz . A fórmula para o determinante de uma matriz é:
Esse determinante é exatamente a expressão que o exercício nos deu.
Passo 6
Agora, segundo a teoria, se o determinante de é diferente de zero (), então os vetores coluna de são linearmente independentes. Isso porque um determinante não nulo indica que a matriz é invertível e que não há combinação linear não trivial dos vetores que resulte no vetor zero.
Passo 7
Portanto, mostramos que os vetores em são linearmente independentes se e somente se o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero. Ou seja,
Resposta
Assim, concluímos que em , o conjunto de vetores é linearmente independente se, e somente se, .