Mostre que se u e v são auto-vetores de uma transformação linear associados a lambda, então alpha u-beta v é também um auto-vetor associado ao mesmo lambda.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de álgebra linear! A pergunta é para mostrar que se u e v são autovetores de uma transformação linear associados ao mesmo valor próprio λ, então uma combinação linear desses vetores, αu - βv, também é um autovetor associado a λ. Vamos precisar entender o que são transformações lineares, autovetores e valores próprios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É basicamente uma função T que leva vetores de um espaço vetorial para outro, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores a e b, e escalar c, temos:
T(a + b) = T(a) + T(b) T(ca) = cT(a)

Passo 3

Agora, um autovetor u de T associado a um valor próprio λ satisfaz a equação:
T(u) = lambda u
Isso significa que quando aplicamos a transformação T no vetor u, o resultado é o vetor u escalado por λ.

Passo 4

Sabemos que u e v são autovetores associados ao mesmo valor próprio λ. Então, temos:
T(u) = lambda u T(v) = lambda v

Passo 5

Queremos mostrar que αu - βv também é um autovetor associado a λ. Para isso, vamos aplicar a transformação T nesse vetor:
T(alpha u - beta v) = alpha T(u) - beta T(v)

Passo 6

Substituímos T(u) e T(v) pelas expressões que já sabemos:
T(alpha u - beta v) = alpha (lambda u) - beta (lambda v) = lambda alpha u - lambda beta v = lambda (alpha u - beta v)

Resposta

Assim, mostramos que:
T(alpha u - beta v) = lambda (alpha u - beta v)
Portanto, αu - βv é também um autovetor de T associado ao valor próprio λ.

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