Mostre que se
e
são auto-vetores de uma transformação linear associados a
, então
é também um auto-vetor associado ao mesmo
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de álgebra linear! A pergunta é para mostrar que se u e v são autovetores de uma transformação linear associados ao mesmo valor próprio λ, então uma combinação linear desses vetores, αu - βv, também é um autovetor associado a λ. Vamos precisar entender o que são transformações lineares, autovetores e valores próprios para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É basicamente uma função T que leva vetores de um espaço vetorial para outro, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores a e b, e escalar c, temos:
Passo 3
Agora, um autovetor u de T associado a um valor próprio λ satisfaz a equação:
Isso significa que quando aplicamos a transformação T no vetor u, o resultado é o vetor u escalado por λ.
Passo 4
Sabemos que u e v são autovetores associados ao mesmo valor próprio λ. Então, temos:
Passo 5
Queremos mostrar que αu - βv também é um autovetor associado a λ. Para isso, vamos aplicar a transformação T nesse vetor:
Passo 6
Substituímos T(u) e T(v) pelas expressões que já sabemos:
Resposta
Assim, mostramos que:
Portanto, αu - βv é também um autovetor de T associado ao valor próprio λ.
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