Encontre uma base do subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2:

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base para um subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Estamos trabalhando com o espaço , que contém todos os polinômios da forma . A condição dada é que . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço, como encontrar uma base e utilizar a condição para relacionar os coeficientes dos polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a condição de forma que possamos expressar um dos coeficientes em termos dos outros. Vamos isolar :

Passo 3

Agora, substituímos na expressão geral do polinômio:
Podemos reorganizar os termos:

Passo 4

Vamos agrupar os termos que possuem os mesmos coeficientes ( e ):
Isso mostra que qualquer polinômio no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 5

Para formar uma base, precisamos dos vetores (neste caso, polinômios) que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço. Os polinômios e são linearmente independentes porque nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.

Passo 6

Portanto, a base do subespaço é formada por esses dois polinômios:

Resposta

A base do subespaço é .

Exercícios relacionados

Mostre que em , o conjunto de vetores
é linearmente independente se, e somente se, o determinante da matriz formada por esses vetores for não-nulo:
Encontre uma base e a dimensão do subespaço de gerado pelos vetores:
(d) Encontre a matriz de mudança da base para a base .
Encontre uma base do requinte subespaço das matrizes .