Encontre uma base do subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2:
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base para um subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Estamos trabalhando com o espaço
, que contém todos os polinômios da forma
. A condição dada é que
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço, como encontrar uma base e utilizar a condição para relacionar os coeficientes dos polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a condição
de forma que possamos expressar um dos coeficientes em termos dos outros. Vamos isolar
:
Passo 3
Agora, substituímos
na expressão geral do polinômio:
Podemos reorganizar os termos:
Passo 4
Vamos agrupar os termos que possuem os mesmos coeficientes (
e
):
Isso mostra que qualquer polinômio no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Passo 5
Para formar uma base, precisamos dos vetores (neste caso, polinômios) que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço. Os polinômios
e
são linearmente independentes porque nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Passo 6
Portanto, a base do subespaço é formada por esses dois polinômios:
Resposta
A base do subespaço é
.
Exercícios relacionados
Mostre que em
, o conjunto de vetores
é linearmente independente se, e somente se, o determinante da matriz formada por esses vetores for não-nulo:
é linearmente independente se, e somente se, o determinante da matriz formada por esses vetores for não-nulo:
Encontre uma base e a dimensão do subespaço de
gerado pelos vetores:
(d) Encontre a matriz
de mudança da base
para a base
.
Encontre uma base do requinte subespaço das matrizes
.