Encontre uma base do subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2:
a2 x^2+a1 x+a0: a1-a0=2 a2 subseteq P2(R)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base para um subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Estamos trabalhando com o espaço , que contém todos os polinômios da forma . A condição dada é que . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço, como encontrar uma base e utilizar a condição para relacionar os coeficientes dos polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a condição a1 = a0 + 2a2 de forma que possamos expressar um dos coeficientes em termos dos outros. Vamos isolar :

Passo 3

Agora, substituímos a2x^2 + (a0 + 2a2)x + a0 na expressão geral do polinômio:
a2x^2 + 2a2x + a0x + a0
Podemos reorganizar os termos:

Passo 4

Vamos agrupar os termos que possuem os mesmos coeficientes ( a2(x^2 + 2x) + a0(x + 1) e ):
Isso mostra que qualquer polinômio no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 5

Para formar uma base, precisamos dos vetores (neste caso, polinômios) que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço. Os polinômios e são linearmente independentes porque nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.

Passo 6

Portanto, a base do subespaço é formada por esses dois polinômios:
, x^2 + 2x,; x + 1 ,

Resposta

A base do subespaço é .

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