Sejam e bases de . Determine , onde є é definido por , para todo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem duas bases, e , de um espaço vetorial . E queremos encontrar a matriz da transformação linear identidade em relação a essas duas bases. Basicamente, vamos descobrir como a identidade se representa quando usamos as bases e . Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, bases e como representar uma transformação linear como uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função que, basicamente, “preserva” as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, a transformação é a identidade, ou seja, ela simplesmente devolve o mesmo vetor que recebe: para todo em .
Passo 3
Agora, para representar essa transformação como uma matriz, precisamos escolher duas bases: uma para o domínio e outra para o contradomínio. Aqui, ambas as bases são do mesmo espaço , mas vamos denotar a base do domínio como e a base do contradomínio como .
Passo 4
A matriz da transformação , denotada por , é construída colocando as coordenadas dos vetores de em relação à base como colunas. Ou seja, para cada vetor em , descobrimos como ele se expressa em termos de .
Passo 5
Para cada em , precisamos encontrar os escalares tais que:
Esses escalares formam a coluna -ésima da matriz .
Passo 6
Assim, repetindo esse processo para todos os vetores de , montamos a matriz completa onde cada coluna corresponde às coordenadas de um vetor de na base .
Resposta
A matriz da transformação linear identidade relativa às bases e , , é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de expressos na base . Em outras palavras: