Sejam e bases de . Determine , onde є é definido por , para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas bases, e , de um espaço vetorial . E queremos encontrar a matriz da transformação linear identidade em relação a essas duas bases. Basicamente, vamos descobrir como a identidade se representa quando usamos as bases e . Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, bases e como representar uma transformação linear como uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função que, basicamente, “preserva” as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, a transformação é a identidade, ou seja, ela simplesmente devolve o mesmo vetor que recebe: para todo em .

Passo 3

Agora, para representar essa transformação como uma matriz, precisamos escolher duas bases: uma para o domínio e outra para o contradomínio. Aqui, ambas as bases são do mesmo espaço , mas vamos denotar a base do domínio como e a base do contradomínio como .

Passo 4

A matriz da transformação , denotada por , é construída colocando as coordenadas dos vetores de em relação à base como colunas. Ou seja, para cada vetor em , descobrimos como ele se expressa em termos de .

Passo 5

Para cada em , precisamos encontrar os escalares tais que:
Esses escalares formam a coluna -ésima da matriz .

Passo 6

Assim, repetindo esse processo para todos os vetores de , montamos a matriz completa onde cada coluna corresponde às coordenadas de um vetor de na base .

Resposta

A matriz da transformação linear identidade relativa às bases e , , é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de expressos na base . Em outras palavras:
onde cada satisfaz .

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(d) Enuncie o Corolário do Teorema do Núcleo e da Imagem.
Suponha que e são espaços vetoriais com a mesma dimensão e é um norfismo. Mostre que tem inversa e é dada por , onde é uma base para e ima base para .
(j) Seja U um espaço vetorial de dimensão sobre e sejam B e bases de U. Qual é a relação entre e ?
Verifique qual das matrizes abaixo são semelhantes:
(a) e
(b) e
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