(j) Seja U um espaço vetorial de dimensão n sobre R e sejam B e C bases de U. Qual é a relação entre (F)B e (F)C ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial de dimensão sobre e duas bases e desse espaço. A pergunta é sobre a relação entre as representações matriciais de uma transformação linear nessas duas bases, ou seja, e .
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de mudança de base e matrizes de transformação linear.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. As matrizes e representam a transformação linear em relação às bases e , respectivamente. Isso significa que elas mostram como age nos vetores dessas bases.

Passo 3

Para relacionar e , precisamos usar a mudança de base. A mudança de base envolve uma matriz que converte coordenadas de uma base para outra. Vamos chamar essa matriz de , que é a matriz de mudança de base de para .

Passo 4

A matriz é construída colocando as coordenadas dos vetores da base na base como colunas. Essa matriz é invertível porque e são bases, ou seja, os vetores de são combinações lineares únicas dos vetores de .

Passo 5

A relação entre as matrizes de (F)C = P^-1 (F)B P nas duas bases é dada pela fórmula de similaridade de matrizes:
Isso quer dizer que, para obter a representação de na base , multiplicamos a representação na base pela matriz inversa de , depois por .

Resposta

A matriz de (F)C = P^-1 (F)B P na base é similar à matriz de na base através da matriz de mudança de base . Ou seja,

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