(j) Seja U um espaço vetorial de dimensão
sobre
e sejam B e
bases de U. Qual é a relação entre
e
?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
de dimensão
sobre
e duas bases
e
desse espaço. A pergunta é sobre a relação entre as representações matriciais de uma transformação linear
nessas duas bases, ou seja,
e
.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de mudança de base e matrizes de transformação linear.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. As matrizes
e
representam a transformação linear
em relação às bases
e
, respectivamente. Isso significa que elas mostram como
age nos vetores dessas bases.
Passo 3
Para relacionar
e
, precisamos usar a mudança de base. A mudança de base envolve uma matriz que converte coordenadas de uma base para outra. Vamos chamar essa matriz de
, que é a matriz de mudança de base de
para
.
Passo 4
A matriz
é construída colocando as coordenadas dos vetores da base
na base
como colunas. Essa matriz é invertível porque
e
são bases, ou seja, os vetores de
são combinações lineares únicas dos vetores de
.
Passo 5
A relação entre as matrizes de
nas duas bases é dada pela fórmula de similaridade de matrizes:
Isso quer dizer que, para obter a representação de
na base
, multiplicamos a representação na base
pela matriz inversa de
, depois por
.
Resposta
A matriz de
na base
é similar à matriz de
na base
através da matriz de mudança de base
. Ou seja,
Exercícios relacionados
Sejam
e
bases de
. Determine
, onde є
é definido por
, para todo
.
(d) Enuncie o Corolário do Teorema do Núcleo e da Imagem.
Verifique qual das matrizes abaixo são semelhantes:
(a) e
(b) e
©
(a)
(b)
©
Seja
uma base de um espaço vetorial
sobre
. Sendo
dados por
e
, determine em relação à base
as matrizes dos seguintes operadores lineares:
,
(caso exista) e
(caso exista).