d. Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
iv.
iv.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar uma curva que é definida por duas equações paramétricas: e
, onde
varia de 0 a
. Isso está relacionado ao estudo de curvas paramétricas, onde cada valor de
gera um ponto
no plano. Para isso, vamos precisar calcular alguns pontos para diferentes valores de
e depois desenhar a curva conectando esses pontos, indicando a direção em que
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher alguns valores de
dentro do intervalo de 0 a
para calcular os pontos
. Vamos pegar
,
e
:
-
Para
: Então, o ponto é. -
Para
: Então, o ponto é. -
Para
: Então, o ponto é.
Passo 3
Agora que temos alguns pontos calculados, vamos colocar eles no plano cartesiano:
-
fica no topo do eixo . -
fica na direita do eixo . -
fica na parte de baixo do eixo .
Passo 4
Com esses pontos marcados, vamos desenhar a curva que os conecta. Observando as equações e
, percebemos que essa curva é parte de um círculo trigonométrico. Quando
aumenta de 0 a
,
aumenta de 0 até 1 e depois volta para 0, enquanto
diminui de 1 até -1. Então, a curva vai de
até
e depois até
, formando uma semicircunferência.
Vamos desenhar uma seta na curva partindo de
passando por
e indo até
para indicar que
está aumentando nessa direção.
Resposta
A curva esboçada é uma semicircunferência que começa no ponto
, passa por
e termina em
, com uma seta indicando que a direção é de cima para baixo conforme
aumenta de 0 a
.
Exercícios relacionados
A equação de uma reta que passa pelos pontos
e
é:
onde m é a declividade (ou inclinação da reta ou…) e é dada por
.
Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de A , a reta passa a ser tangente. Isto é,
. Encontre a equação da reta tangente à curva: (a)
, no ponto em que
. (b)
, no ponto em que
.
Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de A , a reta passa a ser tangente. Isto é,
Se
, então
Mesmo que esta função não seja uma função usual ou conhecida.
Use este resultado para calcular sabendo que, para todo
,
Mesmo que esta função
Use este resultado para calcular
Determine os pontos críticos das seguintes funções:
Determine os pontos críticos das seguintes funções: