d. Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
iv.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar uma curva que é definida por duas equações paramétricas: e , onde varia de 0 a . Isso está relacionado ao estudo de curvas paramétricas, onde cada valor de gera um ponto no plano. Para isso, vamos precisar calcular alguns pontos para diferentes valores de e depois desenhar a curva conectando esses pontos, indicando a direção em que aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher alguns valores de dentro do intervalo de 0 a para calcular os pontos . Vamos pegar , e :
  • Para :
    Então, o ponto é .
  • Para :
    Então, o ponto é .
  • Para :
    Então, o ponto é .

Passo 3

Agora que temos alguns pontos calculados, vamos colocar eles no plano cartesiano:
  1. fica no topo do eixo .
  2. fica na direita do eixo .
  3. fica na parte de baixo do eixo .

Passo 4

Com esses pontos marcados, vamos desenhar a curva que os conecta. Observando as equações e , percebemos que essa curva é parte de um círculo trigonométrico. Quando aumenta de 0 a , aumenta de 0 até 1 e depois volta para 0, enquanto diminui de 1 até -1. Então, a curva vai de até e depois até , formando uma semicircunferência.
Vamos desenhar uma seta na curva partindo de passando por e indo até para indicar que está aumentando nessa direção.

Resposta

A curva esboçada é uma semicircunferência que começa no ponto , passa por e termina em , com uma seta indicando que a direção é de cima para baixo conforme aumenta de 0 a .

Exercícios relacionados

A equação de uma reta que passa pelos pontos e é:
onde m é a declividade (ou inclinação da reta ou…) e é dada por .
Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de A , a reta passa a ser tangente. Isto é, . Encontre a equação da reta tangente à curva: (a) , no ponto em que . (b) , no ponto em que .
Se , então
Mesmo que esta função não seja uma função usual ou conhecida.
Use este resultado para calcular sabendo que, para todo ,
Determine os pontos críticos das seguintes funções:
Determine os pontos críticos das seguintes funções: