Determine os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos determinar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas parciais e pontos críticos em funções de duas variáveis. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, igualá-las a zero e resolver o sistema de equações resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que ao derivar uma função exponencial, usamos a regra da cadeia:
Aqui, derivamos o expoente
em relação a
, que resulta em
, e multiplicamos pela função exponencial original.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Neste caso, derivamos o expoente
em relação a
, que resulta em
, e multiplicamos pela função exponencial original.
Passo 4
Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Portanto, precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
Sabemos que a função exponencial
nunca é zero para valores reais de
e
. Assim, podemos dividir ambas as equações por
, simplificando o sistema para:
Passo 5
Agora, vamos resolver o sistema de equações simplificado:
- Primeira equação:
- Segunda equação:
Resposta
O ponto crítico da função é
.