Determine os pontos críticos das seguintes funções:
f(x, y) = e^(x^2 + y^2 - 4x)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos determinar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas parciais e pontos críticos em funções de duas variáveis. Precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , igualá-las a zero e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Lembre-se que ao derivar uma função exponencial, usamos a regra da cadeia:
Aqui, derivamos o expoente em relação a , que resulta em , e multiplicamos pela função exponencial original.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Neste caso, derivamos o expoente em relação a , que resulta em , e multiplicamos pela função exponencial original.

Passo 4

Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Portanto, precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
Sabemos que a função exponencial nunca é zero para valores reais de e . Assim, podemos dividir ambas as equações por , simplificando o sistema para:

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema de equações simplificado:
  1. Primeira equação:
  1. Segunda equação:

Resposta

O ponto crítico da função é .

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