Determine os pontos críticos das seguintes funções:

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos determinar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas parciais e pontos críticos em funções de duas variáveis. Precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , igualá-las a zero e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Lembre-se que ao derivar uma função exponencial, usamos a regra da cadeia:
Aqui, derivamos o expoente em relação a , que resulta em , e multiplicamos pela função exponencial original.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Neste caso, derivamos o expoente em relação a , que resulta em , e multiplicamos pela função exponencial original.

Passo 4

Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Portanto, precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
Sabemos que a função exponencial nunca é zero para valores reais de e . Assim, podemos dividir ambas as equações por , simplificando o sistema para:

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema de equações simplificado:
  1. Primeira equação:
  1. Segunda equação:

Resposta

O ponto crítico da função é .

Exercícios relacionados

d. Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
iv.
A equação de uma reta que passa pelos pontos e é:
onde m é a declividade (ou inclinação da reta ou…) e é dada por .
Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de A , a reta passa a ser tangente. Isto é, . Encontre a equação da reta tangente à curva: (a) , no ponto em que . (b) , no ponto em que .
Determine os pontos críticos das seguintes funções:
Determine a derivada da função vetorial.
(a)