(D) Uma esfera condutora neutra de raio é posicionada com seu centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Ela está imersa em uma região de campo elétrico uniforme dado por . Nessa situação, é possível mostrar que o potencial elétrico resultante deste campo e do campo produzido pelas cargas induzidas na esfera, no lado de fora da esfera, é:
onde é uma constante que corresponde ao potencial elétrico sobre todos os pontos da esfera.
(a) Determine as componentes e do campo elétrico resultante no lado de fora da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá pegando aqui! Temos uma esfera condutora neutra com raio colocada no centro de um sistema de coordenadas. Ela está imersa num campo elétrico uniforme que aponta na direção , ou seja, . A pergunta quer que a gente descubra as componentes , e do campo elétrico resultante fora da esfera.
Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar que o campo elétrico está relacionado com o potencial elétrico através do gradiente: . Isso quer dizer que pra achar as componentes do campo, a gente vai derivar o potencial em relação a cada coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a expressão do potencial elétrico dada:
Aqui, é uma constante que representa o potencial na superfície da esfera.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial . Em coordenadas cartesianas, isso significa:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 4

Vamos calcular cada componente uma por uma.
Componente :
A única parte que depende de é a última fração. Aplicando a regra da cadeia:
Então,
Componente :
Similarmente, para :
Então,
Componente :
Agora, para :
Então,

Resposta

As componentes do campo elétrico resultante no lado de fora da esfera são:

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(b) Utilizando o resultado acima e seus conhecimentos sobre condutores em equilíbrio eletrostático e indução de cargas, desenhe as linhas de campo produzidas por essa configuração.
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