(D) Uma esfera condutora neutra de raio R é posicionada com seu centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Ela está imersa em uma região de campo elétrico uniforme dado por E=E0 z. Nessa situação, é possível mostrar que o potencial elétrico resultante deste campo e do campo produzido pelas cargas induzidas na esfera, no lado de fora da esfera, é:
V(x, y, z)=V0-E0 z+E0 R^3 z(x^2+y^2+z^2)^3 / 2
onde V0 é uma constante que corresponde ao potencial elétrico sobre todos os pontos da esfera.
(a) Determine as componentes x, y e z do campo elétrico resultante no lado de fora da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá pegando aqui! Temos uma esfera condutora neutra com raio colocada no centro de um sistema de coordenadas. Ela está imersa num campo elétrico uniforme que aponta na direção , ou seja, . A pergunta quer que a gente descubra as componentes , e do campo elétrico resultante fora da esfera.
Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar que o campo elétrico está relacionado com o potencial elétrico através do gradiente: . Isso quer dizer que pra achar as componentes do campo, a gente vai derivar o potencial em relação a cada coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a expressão do potencial elétrico dada:
V(x, y, z) = V0 - E0 z + E0 R^3 z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2
Aqui, é uma constante que representa o potencial na superfície da esfera.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o campo elétrico E = -( partial Vpartial x x + partial Vpartial y y + partial Vpartial z z ) é o negativo do gradiente do potencial . Em coordenadas cartesianas, isso significa:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 4

Vamos calcular cada componente uma por uma.
Componente partial Vpartial x = partialpartial x ( V0 - E0 z + E0 R^3 z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 ) :
partial Vpartial x = E0 R^3 z cdot (-3/2)(2x)(x^2 + y^2 + z^2)^5/2 = -3 E0 R^3 x z(x^2 + y^2 + z^2)^5/2
A única parte que depende de Ex = -partial Vpartial x = 3 E0 R^3 x z(x^2 + y^2 + z^2)^5/2 é a última fração. Aplicando a regra da cadeia:
partial Vpartial y = partialpartial y ( V0 - E0 z + E0 R^3 z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 ) = -3 E0 R^3 y z(x^2 + y^2 + z^2)^5/2
Então,
Ey = -partial Vpartial y = 3 E0 R^3 y z(x^2 + y^2 + z^2)^5/2
Componente partial Vpartial z = partialpartial z ( V0 - E0 z + E0 R^3 z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 ) = -E0 + E0 R^3 ( 1(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 - 3 z^2(x^2 + y^2 + z^2)^5/2 ) :
Similarmente, para Ez = -partial Vpartial z = E0 - E0 R^3 ( 1(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 - 3 z^2(x^2 + y^2 + z^2)^5/2 ) :
Então,
Componente :
Agora, para :
Então,

Resposta

As componentes do campo elétrico resultante no lado de fora da esfera são:
Ex = 3 E0 R^3 x z(x^2 + y^2 + z^2)^5/2
Ey = 3 E0 R^3 y z(x^2 + y^2 + z^2)^5/2
Ez = E0 - E0 R^3 ( 1(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 - 3 z^2(x^2 + y^2 + z^2)^5/2 )

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