(D) Uma esfera condutora neutra de raio
é posicionada com seu centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Ela está imersa em uma região de campo elétrico uniforme dado por
. Nessa situação, é possível mostrar que o potencial elétrico resultante deste campo e do campo produzido pelas cargas induzidas na esfera, no lado de fora da esfera, é:
onde
é uma constante que corresponde ao potencial elétrico sobre todos os pontos da esfera.
(a) Determine as componentes
e
do campo elétrico resultante no lado de fora da esfera.
(a) Determine as componentes
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá pegando aqui! Temos uma esfera condutora neutra com raio
colocada no centro de um sistema de coordenadas. Ela está imersa num campo elétrico uniforme que aponta na direção
, ou seja,
. A pergunta quer que a gente descubra as componentes
,
e
do campo elétrico resultante fora da esfera.
Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar que o campo elétrico está relacionado com o potencial elétrico através do gradiente:
. Isso quer dizer que pra achar as componentes do campo, a gente vai derivar o potencial em relação a cada coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a expressão do potencial elétrico dada:
Aqui,
é uma constante que representa o potencial na superfície da esfera.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o campo elétrico
é o negativo do gradiente do potencial
. Em coordenadas cartesianas, isso significa:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada componente uma por uma.
Componente
:
A única parte que depende de
é a última fração. Aplicando a regra da cadeia:
Então,
Componente
:
Similarmente, para
:
Então,
Componente
:
Agora, para
:
Então,
Resposta
As componentes do campo elétrico resultante no lado de fora da esfera são:
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, onde
é uma constante e
é a distância até o centro dela.
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(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pela esfera em todo o espaço. Justifique cuidadosamente os argumentos de simetria utilizados.
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