(D) Um fio condutor retilíneo de comprimento
e seção transversal circular de raio
tem uma resistividade que varia com a distância
ao eixo do fio na forma
, onde
é uma constante positiva. Uma diferença de potencial
é aplicada às extremidades do fio.
© Determine a corrente total que atravessa a seção transversal do fio. Sugestão: Divida a seção transversal em anéis concêntricos de raio
espessura infinitesimal
. Calcule a contribuição de cada anel para a corrente utilizando a expressão
e integre sobre a seção transversal.
© Determine a corrente total que atravessa a seção transversal do fio. Sugestão: Divida a seção transversal em anéis concêntricos de raio
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um fio retilíneo com comprimento
e seção transversal circular de raio
. A resistividade do fio varia com a distância
ao eixo, seguindo a fórmula
, onde
é uma constante positiva. Foi aplicada uma diferença de potencial
nas extremidades do fio.
O conteúdo que vamos usar aqui é Eletrodinâmica, especificamente a relação entre a resistividade, a corrente e a diferença de potencial. Para resolver, vamos dividir a seção transversal do fio em anéis concêntricos de raio
e espessura infinitesimal
, calcular a contribuição de cada anel para a corrente e, finalmente, integrar tudo para encontrar a corrente total.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a corrente total
que atravessa a seção transversal do fio pode ser obtida integrando as contribuições de cada anel. A corrente através de um anel pequeno é dada por:
Aqui,
é a densidade de corrente e
é o elemento de área do anel.
Passo 3
Sabemos que a densidade de corrente
está relacionada com a diferença de potencial
e a resistividade
pela Lei de Ohm para materiais com resistência variável:
Onde
é o campo elétrico. Para um fio retilíneo com diferença de potencial
e comprimento
, o campo elétrico é constante e dado por:
Passo 4
Substituindo
e
na expressão para
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o elemento de área
para um anel com raio
e espessura
. A área de um anel é:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão para
:
Note que
cancela aqui.
Passo 7
Para encontrar a corrente total
, vamos integrar
de
até
:
Passo 8
Resolvendo a integral:
Resposta
A corrente total que atravessa a seção transversal do fio é:
Exercícios relacionados
(F) Um fio condutor retilíneo tem seção transversal constante e está inicialmente submetido a uma diferença de potencial
entre suas extremidades. Suponha agora que o fio é esticado, de forma que seu comprimento é dobrado e a área de sua seção transversal é reduzida pela metade. Se a diferença de potencial entre as suas extremidades permanece inalterada, determine:
© A razão entre as intensidades do campo elétrico no interior do fio antes e depois dele ser esticado.
© A razão entre as intensidades do campo elétrico no interior do fio antes e depois dele ser esticado.
(M) Em um modelo clássico para o átomo de Hidrogênio (modelo de Bohr), o elétron executa um movimento circular uniforme de raio
e velocidade escalar
em torno do próton, suposto fixo na origem.
(b) O sentido da corrente será o mesmo do movimento de rotação? Justifique.
(b) O sentido da corrente será o mesmo do movimento de rotação? Justifique.
(M) Em um modelo clássico para o átomo de Hidrogênio (modelo de Bohr), o elétron executa um movimento circular uniforme de raio
e velocidade escalar
em torno do próton, suposto fixo na origem.
(a) Determine a corrente associada ao movimento do elétron, supondo que ela pode ser tratada como uma corrente estacionária.
(a) Determine a corrente associada ao movimento do elétron, supondo que ela pode ser tratada como uma corrente estacionária.
(F) Um fio condutor retilíneo tem seção transversal constante e está inicialmente submetido a uma diferença de potencial
entre suas extremidades. Suponha agora que o fio é esticado, de forma que seu comprimento é dobrado e a área de sua seção transversal é reduzida pela metade. Se a diferença de potencial entre as suas extremidades permanece inalterada, determine:
(a) A razão entre as resistências elétricas do fio antes e depois dele ser esticado.
(a) A razão entre as resistências elétricas do fio antes e depois dele ser esticado.