(D) Um fio condutor retilíneo de comprimento L e seção transversal circular de raio a tem uma resistividade que varia com a distância s ao eixo do fio na forma rho(s)=k s, onde k é uma constante positiva. Uma diferença de potencial V é aplicada às extremidades do fio.
© Determine a corrente total que atravessa a seção transversal do fio. Sugestão: Divida a seção transversal em anéis concêntricos de raio s espessura infinitesimal d s. Calcule a contribuição de cada anel para a corrente utilizando a expressão d I=J d A e integre sobre a seção transversal.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um fio retilíneo com comprimento e seção transversal circular de raio . A resistividade do fio varia com a distância ao eixo, seguindo a fórmula , onde é uma constante positiva. Foi aplicada uma diferença de potencial nas extremidades do fio.
O conteúdo que vamos usar aqui é Eletrodinâmica, especificamente a relação entre a resistividade, a corrente e a diferença de potencial. Para resolver, vamos dividir a seção transversal do fio em anéis concêntricos de raio e espessura infinitesimal , calcular a contribuição de cada anel para a corrente e, finalmente, integrar tudo para encontrar a corrente total.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a corrente total dI = J cdot dA que atravessa a seção transversal do fio pode ser obtida integrando as contribuições de cada anel. A corrente através de um anel pequeno é dada por:
Aqui, é a densidade de corrente e é o elemento de área do anel.

Passo 3

Sabemos que a densidade de corrente J = Erho está relacionada com a diferença de potencial E = VL e a resistividade pela Lei de Ohm para materiais com resistência variável:
Onde é o campo elétrico. Para um fio retilíneo com diferença de potencial e comprimento , o campo elétrico é constante e dado por:

Passo 4

Substituindo J(s) = VL cdot rho(s) = VL cdot k s e J(s) = Vk L s na expressão para :
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o elemento de área dA = 2pi s , ds para um anel com raio e espessura . A área de um anel é:

Passo 6

Substituindo dI = J(s) cdot dA = Vk L s cdot 2pi s , ds = 2pi Vk L , ds e na expressão para :
Note que cancela aqui.

Passo 7

Para encontrar a corrente total I = integral0^a 2pi Vk L , ds , vamos integrar de até :

Passo 8

Resolvendo a integral:
I = 2pi Vk L integral0^a ds = 2pi Vk L cdot a

Resposta

A corrente total que atravessa a seção transversal do fio é:
I = 2pi V ak L

Exercícios relacionados

(F) Um fio condutor retilíneo tem seção transversal constante e está inicialmente submetido a uma diferença de potencial V entre suas extremidades. Suponha agora que o fio é esticado, de forma que seu comprimento é dobrado e a área de sua seção transversal é reduzida pela metade. Se a diferença de potencial entre as suas extremidades permanece inalterada, determine:
© A razão entre as intensidades do campo elétrico no interior do fio antes e depois dele ser esticado.
(M) Em um modelo clássico para o átomo de Hidrogênio (modelo de Bohr), o elétron executa um movimento circular uniforme de raio a0 e velocidade escalar v em torno do próton, suposto fixo na origem.
(b) O sentido da corrente será o mesmo do movimento de rotação? Justifique.
(M) Em um modelo clássico para o átomo de Hidrogênio (modelo de Bohr), o elétron executa um movimento circular uniforme de raio a0 e velocidade escalar v em torno do próton, suposto fixo na origem.
(a) Determine a corrente associada ao movimento do elétron, supondo que ela pode ser tratada como uma corrente estacionária.
(F) Um fio condutor retilíneo tem seção transversal constante e está inicialmente submetido a uma diferença de potencial V entre suas extremidades. Suponha agora que o fio é esticado, de forma que seu comprimento é dobrado e a área de sua seção transversal é reduzida pela metade. Se a diferença de potencial entre as suas extremidades permanece inalterada, determine:
(a) A razão entre as resistências elétricas do fio antes e depois dele ser esticado.