Exercício 3: Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é encontrar o domínio da função
e desenhar o gráfico dela. O domínio é basicamente todos os valores de
que a função pode aceitar sem problemas, e para esboçar o gráfico, vamos olhar como a função se comporta em cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que a gente tem. Ela está dividida em duas partes:
- Para
, a função é . - Para
, a função é .
Cada parte tem uma regra diferente dependendo do valor de
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o domínio. Como a função está definida para todo
maior ou igual a 2 e para todo
menor que 2, não há restrições como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo. Então, a gente pode usar qualquer número real para
.
Passo 4
Isso significa que o domínio da função é todos os números reais. Em notação matemática, escrevemos:
Passo 5
Agora, vamos para o gráfico. Vamos desenhar cada parte da função separadamente.
-
Para
: - A função é
. - Essa é uma reta com inclinação
e intercepto em . - Ela começa em
. Vamos calcular : - Então, o ponto
está incluído no gráfico.
- A função é
-
Para
: - A função é
. - Essa também é uma reta, com inclinação
e intercepto em . - Vamos calcular
para ver a continuidade: - Mas como essa parte é para
, o ponto não está incluído.
- A função é
Passo 6
Agora, juntando as duas partes:
- A reta para
começa no ponto e desce com a inclinação . - A reta para
vem de até chegar perto de , mas sem incluir esse ponto.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais,
. O gráfico da função é composto por duas retas: para
, a reta
começando no ponto
; e para
, a reta
que se estende até
, sem incluir o ponto
.