Encontre os pontos críticos da função
e classifique-os como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia aqui é encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, e os pontos onde essa inclinação é zero são os candidatos a pontos críticos. Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde a primeira derivada é igual a zero, ou seja, resolver a equação:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Para classificar esses pontos críticos, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos ajuda a determinar se o ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Calculando a segunda derivada:
Passo 6
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos encontrados:
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um mínimo local.
- Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um máximo local.
Passo 7
Além dos pontos críticos, também podemos encontrar pontos de inflexão, que são onde a concavidade da função muda. Isso ocorre onde a segunda derivada é zero:
Então,
é um ponto de inflexão.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: Máximo local -
: Mínimo local
Além disso, há um ponto de inflexão em
.
Exercícios relacionados
(d)
(b)
(a)
Calcule a derivada das curvas dadas a seguir: