Encontre os pontos críticos da função e classifique-os como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia aqui é encontrar os pontos críticos da função e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, e os pontos onde essa inclinação é zero são os candidatos a pontos críticos. Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos onde a primeira derivada é igual a zero, ou seja, resolver a equação:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, temos duas soluções:

Passo 5

Para classificar esses pontos críticos, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos ajuda a determinar se o ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Calculando a segunda derivada:

Passo 6

Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos encontrados:
  1. Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um mínimo local.
  1. Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um máximo local.

Passo 7

Além dos pontos críticos, também podemos encontrar pontos de inflexão, que são onde a concavidade da função muda. Isso ocorre onde a segunda derivada é zero:
Então, é um ponto de inflexão.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Máximo local
  • : Mínimo local
Além disso, há um ponto de inflexão em .

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(d)
(b)
(a)
Calcule a derivada das curvas dadas a seguir: