Determine uma aproximação de com prescisão de três casas decimais.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que pede para aproximar o valor de com precisão de três casas decimais. Para isso, vamos usar a série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções trigonométricas como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série de Taylor para em torno de é:
Essa série nos permite calcular uma aproximação para o cosseno de qualquer valor de , especialmente quando é pequeno.

Passo 3

Vamos substituir por na série:

Passo 4

Calculando os primeiros termos da série:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
  4. Quarto termo:

Passo 5

Somando os termos calculados:

Resposta

Uma aproximação de com precisão de três casas decimais é .

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Obtenha uma representação em série de potências em torno de (dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
(a) ,
(a) Mostre que a série converge pelo teste da série alternada.
Quão precisa é a aproximação quando ? Para quais valores de ocorrerá de ?
(d) , com erro menor que