Determine uma aproximação de
com prescisão de três casas decimais.
Passo 1
Vamos resolver esse exercício que pede para aproximar o valor de
com precisão de três casas decimais. Para isso, vamos usar a série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções trigonométricas como o cosseno.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série de Taylor para
em torno de
é:
Essa série nos permite calcular uma aproximação para o cosseno de qualquer valor de
, especialmente quando
é pequeno.
Passo 3
Vamos substituir
por
na série:
Passo 4
Calculando os primeiros termos da série:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Passo 5
Somando os termos calculados:
Resposta
Uma aproximação de
com precisão de três casas decimais é
.
Exercícios relacionados
Obtenha uma representação em série de potências em torno de
(dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
(a) ,
(a)
(a) Mostre que a série
converge pelo teste da série alternada.
Quão precisa é a aproximação
quando
? Para quais valores de
ocorrerá de
?
(d)
, com erro menor que