(d) Como
, a série
converge para 1 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o valor da integral
é igual a 1 e pergunta se a série
também converge para 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam integrais e séries, e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral
. Sabemos que a integral de
de 1 até o infinito é:
Então, a integral realmente vale 1, como mencionado no enunciado.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série
. Essa é uma série p com
, que sabemos que converge porque
. Mas qual é o valor dessa soma?
Passo 4
A soma da série
é conhecida como a série de Basileia e seu valor exato é
, que aproximadamente é 1,6449. Esse valor é maior do que 1.
Passo 5
Comparando os dois resultados: a integral vale 1 e a série vale cerca de 1,6449. Portanto, a afirmação de que a série converge para 1 está errada.
Resposta
Falso.
Exercícios relacionados
(b) Seja a série
e seja
, para
. Se
, então a série
converge.
Considere agora uma modificação da série harmônica obtida omitindo-se todos os termos cujo denominador contenha o dígito 9. Essa série converge ou diverge?
(a)
, onde C é o gráfico da função
, com
;
e
e percorrida da esquerda para direita considerando a origem. Observação: considere
.
(a) Parametrize a curva .
(a) Parametrize a curva