Considere agora uma modificação da série harmônica obtida omitindo-se todos os termos cujo denominador contenha o dígito 9. Essa série converge ou diverge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a série harmônica, que é a soma infinita dos termos da forma , onde vai de 1 até o infinito. Sabemos que essa série diverge, ou seja, ela cresce sem parar e não tem um valor final. Agora, a pergunta é: o que acontece se a gente modificar essa série removendo todos os termos cujo denominador (o ) tem o dígito 9? A série resultante vai convergir (ter um valor final) ou continuar divergindo? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries numéricas, divergência e convergência de séries, e como a remoção de termos afeta isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a série divergir. Quando dizemos que uma série diverge, significa que a soma dos seus termos cresce sem limite conforme adicionamos mais termos. No caso da série harmônica:
Essa soma nunca vai se estabilizar em um número finito.

Passo 3

Agora, vamos pensar na modificação proposta: omitir todos os termos cujo denominador contém o dígito 9. Isso significa que vamos pular termos como , , , e assim por diante. Mas será que remover esses termos é o suficiente para fazer a série parar de crescer sem limite?

Passo 4

Para descobrir isso, precisamos analisar a densidade dos termos que estamos removendo. Números que contêm o dígito 9 não são raros; por exemplo, em cada conjunto de 10 números (de 1 a 10, de 11 a 20, etc.), há pelo menos um número com 9. Isso significa que estamos removendo uma parte significativa dos termos.

Passo 5

No entanto, mesmo removendo uma quantidade considerável de termos, a série resultante ainda pode divergir. Isso acontece porque, apesar de estarmos removendo termos, a densidade dos termos restantes não é diminuída o suficiente para que a soma cesse de crescer sem limite. Em outras palavras, a quantidade de termos que sobraram ainda é suficiente para que a soma continue aumentando indefinidamente.

Passo 6

Portanto, a remoção de termos com o dígito 9 não altera a essência da série harmônica no que diz respeito à sua divergência. A série modificada ainda tem termos suficientes para que sua soma continue crescendo sem parar.

Resposta

A série resultante diverge.

Exercícios relacionados

Considere agora uma modificação da série harmônica obtida omitindo-se todos os termos cujo denominador é um número ímpar. Essa série converge ou diverge?
(b) Seja . A série geométrica converge se e somente se
(b) Seja a série e seja , para . Se , então a série converge.
(d) Como , a série converge para 1 .