Considere agora uma modificação da série harmônica obtida omitindo-se todos os termos cujo denominador contenha o dígito 9. Essa série converge ou diverge?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a série harmônica, que é a soma infinita dos termos da forma
, onde
vai de 1 até o infinito. Sabemos que essa série diverge, ou seja, ela cresce sem parar e não tem um valor final. Agora, a pergunta é: o que acontece se a gente modificar essa série removendo todos os termos cujo denominador (o
) tem o dígito 9? A série resultante vai convergir (ter um valor final) ou continuar divergindo? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries numéricas, divergência e convergência de séries, e como a remoção de termos afeta isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a série divergir. Quando dizemos que uma série diverge, significa que a soma dos seus termos cresce sem limite conforme adicionamos mais termos. No caso da série harmônica:
Essa soma nunca vai se estabilizar em um número finito.
Passo 3
Agora, vamos pensar na modificação proposta: omitir todos os termos cujo denominador contém o dígito 9. Isso significa que vamos pular termos como
,
,
, e assim por diante. Mas será que remover esses termos é o suficiente para fazer a série parar de crescer sem limite?
Passo 4
Para descobrir isso, precisamos analisar a densidade dos termos que estamos removendo. Números que contêm o dígito 9 não são raros; por exemplo, em cada conjunto de 10 números (de 1 a 10, de 11 a 20, etc.), há pelo menos um número com 9. Isso significa que estamos removendo uma parte significativa dos termos.
Passo 5
No entanto, mesmo removendo uma quantidade considerável de termos, a série resultante ainda pode divergir. Isso acontece porque, apesar de estarmos removendo termos, a densidade dos termos restantes não é diminuída o suficiente para que a soma cesse de crescer sem limite. Em outras palavras, a quantidade de termos que sobraram ainda é suficiente para que a soma continue aumentando indefinidamente.
Passo 6
Portanto, a remoção de termos com o dígito 9 não altera a essência da série harmônica no que diz respeito à sua divergência. A série modificada ainda tem termos suficientes para que sua soma continue crescendo sem parar.
Resposta
A série resultante diverge.
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(b) Seja
. A série geométrica
converge se e somente se
(b) Seja a série
e seja
, para
. Se
, então a série
converge.
(d) Como
, a série
converge para 1 .