(a)
, onde C é o gráfico da função
, com
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é o gráfico da função
no intervalo de
de 0 a 2. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre integrais de linha e como calcular o elemento de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Em uma curva
, o elemento de arco
representa um pequeno pedaço do comprimento da curva e é dado pela fórmula:
Então, precisamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 3
A função dada é
. Vamos derivar em relação a
:
Agora, substituímos essa derivada na fórmula de
:
Passo 4
Com isso, a integral que queremos calcular fica:
Isso significa que vamos integrar a função
de
até
.
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar:
Assim, a derivada de
é:
Isso nos ajuda a simplificar a integral.
Passo 6
Resolvendo para
:
Agora, substituímos na integral original:
Onde
e
.
Passo 7
Simplificando a integral:
Agora, vamos integrar
:
Aplicando os limites de integração:
Passo 8
Substituindo os valores de
:
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Exercícios relacionados
(d) Como
, a série
converge para 1 .
(b) Seja a série
e seja
, para
. Se
, então a série
converge.
e
e percorrida da esquerda para direita considerando a origem. Observação: considere
.
(a) Parametrize a curva .
(a) Parametrize a curva
Calcule o centro de massa do fio
parametrizado por
, com
, com densidade linear
.