(a) integralC x d S, onde C é o gráfico da função f(x)=12 x^2, com 0 <= x <= 2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC x , dS, onde é o gráfico da função no intervalo de de 0 a 2. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre integrais de linha e como calcular o elemento de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é dS = raiz1 + (dydx)^2 , dx . Em uma curva , o elemento de arco representa um pequeno pedaço do comprimento da curva e é dado pela fórmula:
Então, precisamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 3

A função dada é dydx = ddx(12x^2) = x . Vamos derivar em relação a dS = raiz1 + x^2 , dx :
Agora, substituímos essa derivada na fórmula de :

Passo 4

Com isso, a integral que queremos calcular fica:
integral0^2 x cdot raiz1 + x^2 , dx
Isso significa que vamos integrar a função de até .

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar:
u = 1 + x^2
Assim, a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx é:
Isso nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 6

Resolvendo para x , dx = du2 :
integral0^2 x raiz1 + x^2 , dx = integralu(0)^u(2) raizu cdot du2
Agora, substituímos na integral original:
Onde e .

Passo 7

Simplificando a integral:
12 integral1^5 u^1/2 , du
Agora, vamos integrar integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C :
12 [ 23 u^3/2 ]1^5 = 13 ( u^3/2 )1^5
Aplicando os limites de integração:

Passo 8

Substituindo os valores de 13 ( 5^3/2 - 1^3/2 ) = 13 ( 5 raiz5 - 1 ) :

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
5 raiz5 - 13

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