(a) , onde C é o gráfico da função , com ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é o gráfico da função no intervalo de de 0 a 2. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre integrais de linha e como calcular o elemento de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Em uma curva , o elemento de arco representa um pequeno pedaço do comprimento da curva e é dado pela fórmula:
Então, precisamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 3

A função dada é . Vamos derivar em relação a :
Agora, substituímos essa derivada na fórmula de :

Passo 4

Com isso, a integral que queremos calcular fica:
Isso significa que vamos integrar a função de até .

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar:
Assim, a derivada de é:
Isso nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 6

Resolvendo para :
Agora, substituímos na integral original:
Onde e .

Passo 7

Simplificando a integral:
Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites de integração:

Passo 8

Substituindo os valores de :

Resposta

Portanto, o valor da integral é:

Exercícios relacionados

(d) Como , a série converge para 1 .
(b) Seja a série e seja , para . Se , então a série converge.
e
e percorrida da esquerda para direita considerando a origem. Observação: considere .
(a) Parametrize a curva .
Calcule o centro de massa do fio parametrizado por , com , com densidade linear .