d) sabendo que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite! A gente precisa encontrar o limite de quando se aproxima de 0, sabendo que . Para isso, vamos usar o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema do Aperto), que nos ajuda a determinar limites quando a função está “apertada” entre duas outras funções que têm o mesmo limite no ponto considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão “embrulhando” a . Aqui, a função de baixo é e a função de cima é . Nosso objetivo é calcular os limites dessas duas funções quando se aproxima de 0.

Passo 3

Vamos calcular o limite da função de baixo:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função de cima:
Sabemos que , então:

Passo 5

Segundo o Teorema do Sanduíche, se e ambos os limites das funções de baixo e de cima são iguais quando se aproxima de 0, então o limite de também é esse mesmo valor.
No nosso caso, vimos que:
Como esses limites são diferentes (1 e 3), o Teorema do Sanduíche não pode ser aplicado diretamente para determinar o limite de .
No entanto, uma observação importante é que, para o Teorema ser aplicável, os limites das funções de baixo e de cima devem ser iguais. Como nesse caso não são, o limite de não está necessariamente determinado apenas por essas informações.

Resposta

Não é possível determinar o limite de com as informações fornecidas, já que os limites das funções de baixo e de cima são diferentes.

Exercícios relacionados

Nos Exercícios de 17 a 22, prove que para a função dada, não existe.
Exercícios de 9 a 16, estabeleça o limite, encontrando um correspondente a qualquer , tal que a Definição 16.2.5 seja válida.
Nos Exercícios de 17 a 22, prove que para a função dada, não existe.