d)
sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limite! A gente precisa encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0, sabendo que
. Para isso, vamos usar o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema do Aperto), que nos ajuda a determinar limites quando a função está “apertada” entre duas outras funções que têm o mesmo limite no ponto considerado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão “embrulhando” a
. Aqui, a função de baixo é
e a função de cima é
. Nosso objetivo é calcular os limites dessas duas funções quando
se aproxima de 0.
Passo 3
Vamos calcular o limite da função de baixo:
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função de cima:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Segundo o Teorema do Sanduíche, se
e ambos os limites das funções de baixo e de cima são iguais quando
se aproxima de 0, então o limite de
também é esse mesmo valor.
No nosso caso, vimos que:
Como esses limites são diferentes (1 e 3), o Teorema do Sanduíche não pode ser aplicado diretamente para determinar o limite de
.
No entanto, uma observação importante é que, para o Teorema ser aplicável, os limites das funções de baixo e de cima devem ser iguais. Como nesse caso não são, o limite de
não está necessariamente determinado apenas por essas informações.
Resposta
Não é possível determinar o limite de
com as informações fornecidas, já que os limites das funções de baixo e de cima são diferentes.
Exercícios relacionados
Nos Exercícios de 17 a 22, prove que para a função
dada,
não existe.
Exercícios de 9 a 16, estabeleça o limite, encontrando um
correspondente a qualquer
, tal que a Definição 16.2.5 seja válida.
Nos Exercícios de 17 a 22, prove que para a função
dada,
não existe.