Exercícios de 9 a 16, estabeleça o limite, encontrando um correspondente a qualquer , tal que a Definição 16.2.5 seja válida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite! A gente tem que estabelecer que o limite de quando se aproxima de é igual a . Para isso, vamos usar a definição de limite que envolve encontrar um para qualquer . Isso tudo faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizendo de forma simples, para provar que , precisamos mostrar que para todo , existe um tal que sempre que a distância entre e for menor que , a diferença entre e será menor que .
Matematicamente:
ã

Passo 3

No nosso caso, , , e . Vamos substituir esses valores na definição:
Queremos que:
E sabemos que:

Passo 4

Nosso objetivo é expressar em termos da distância . Para isso, vamos manipular a expressão:
Agora, aplicando a desigualdade triangular:

Passo 5

Sabemos que:
Então:

Passo 6

Agora, queremos que . Para isso, basta que:
Isso sugere que podemos escolher .

Resposta

Portanto, para qualquer , podemos escolher de forma que sempre que , teremos . Assim, a definição de limite está validada.

Exercícios relacionados

d) sabendo que .
Nos Exercícios de 17 a 22, prove que para a função dada, não existe.
Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
(n)