Exercícios de 9 a 16, estabeleça o limite, encontrando um
correspondente a qualquer
, tal que a Definição 16.2.5 seja válida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limite! A gente tem que estabelecer que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Para isso, vamos usar a definição de limite que envolve encontrar um
para qualquer
. Isso tudo faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizendo de forma simples, para provar que
, precisamos mostrar que para todo
, existe um
tal que sempre que a distância entre
e
for menor que
, a diferença entre
e
será menor que
.
Matematicamente:
Passo 3
No nosso caso,
,
,
e
. Vamos substituir esses valores na definição:
Queremos que:
E sabemos que:
Passo 4
Nosso objetivo é expressar
em termos da distância
. Para isso, vamos manipular a expressão:
Agora, aplicando a desigualdade triangular:
Passo 5
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Agora, queremos que
. Para isso, basta que:
Isso sugere que podemos escolher
.
Resposta
Portanto, para qualquer
, podemos escolher
de forma que sempre que
, teremos
. Assim, a definição de limite está validada.
Exercícios relacionados
d)
sabendo que
.
Nos Exercícios de 17 a 22, prove que para a função
dada,
não existe.
Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
(n)
(n)