Exercícios de 9 a 16, estabeleça o limite, encontrando um de0 correspondente a qualquer epsilon>0, tal que a Definição 16.2.5 seja válida.
lim (x, y) (-1.3)(3 x-2 y)=-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite! A gente tem que estabelecer que o limite de quando se aproxima de é igual a . Para isso, vamos usar a definição de limite que envolve encontrar um para qualquer . Isso tudo faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizendo de forma simples, para provar que Se raiz(x - a)^2 + (y - b)^2 < de, precisamos mostrar que para todo , existe um tal que sempre que a distância entre e for menor que , a diferença entre e será menor que .
Matematicamente:
ã

Passo 3

No nosso caso, |3x - 2y - (-9)| = |3x - 2y + 9| < epsilon , raiz(x + 1)^2 + (y - 3)^2 < de, e . Vamos substituir esses valores na definição:
Queremos que:
E sabemos que:

Passo 4

Nosso objetivo é expressar |3x - 2y + 9| = |3(x + 1) - 2(y - 3)| em termos da distância |3(x + 1)| + |-2(y - 3)| = 3|x + 1| + 2|y - 3| . Para isso, vamos manipular a expressão:
Agora, aplicando a desigualdade triangular:

Passo 5

Sabemos que:
|x + 1| <= raiz(x + 1)^2 + (y - 3)^2
|y - 3| <= raiz(x + 1)^2 + (y - 3)^2
Então:
3|x + 1| + 2|y - 3| <= 3raiz(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + 2raiz(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 5raiz(x + 1)^2 + (y - 3)^2

Passo 6

Agora, queremos que raiz(x + 1)^2 + (y - 3)^2 < epsilon5 . Para isso, basta que:
Isso sugere que podemos escolher .

Resposta

Portanto, para qualquer , podemos escolher de forma que sempre que , teremos . Assim, a definição de limite está validada.

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