Nos Exercícios de 17 a 22, prove que para a função f dada, lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe.
f(x, y)=x^2 y^2x^4+y^4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos provar que o limite dessa função quando se aproxima de não existe. Para fazer isso, vamos usar o conceito de que se o limite for diferente ao se aproximar por caminhos diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 2

Vamos começar avaliando o limite ao longo do eixo f(x, 0) = x^2 cdot 0^2x^4 + 0^4 = 0x^4 = 0 , ou seja, quando . Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos avaliar o limite ao longo da linha f(x, x) = x^2 cdot x^2x^4 + x^4 = x^42x^4 = 12 . Substituindo na função:
Assim, ao nos aproximarmos de pela linha , o limite é .

Passo 4

Observe que obtivemos dois resultados diferentes para o limite:
  • Pelo eixo , o limite é 0.
  • Pela linha , o limite é .

Passo 5

Como o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de e recebemos resultados diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite de quando não existe.

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