(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
.
Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o cálculo de limites. Vamos precisar entender como o arctan se comporta quando
vai para infinito e como a raiz quadrada cresce nesse cenário. Nossa missão é descobrir qual é o valor desse limite quando
fica muito, mas muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a função
se comporta quando
cresce sem limite. O
é a função arco-tangente, que nos dá o ângulo cujo tangente é
. À medida que
vai para mais infinito,
se aproxima de
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. À medida que
cresce,
também cresce, mas de forma mais lenta comparada a funções como
ou
. Porém, para nosso caso aqui, o importante é saber que
tende a infinito quando
tende a infinito:
Passo 4
Agora, juntando as duas observações:
Quando temos uma constante dividida por algo que tende ao infinito, o resultado tende a zero.
Resposta
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Encontre
e o
.
div
Usando a regra da cadeia, calcule a derivada parcial de primeira ordem com relação a
da função
, em que
e
. Justifique sua resposta com os cálculos.
(m)
(a) Mostre que
não é limitada se
.