(d) lim x +infty arctan xraizx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: .
Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o cálculo de limites. Vamos precisar entender como o arctan se comporta quando vai para infinito e como a raiz quadrada cresce nesse cenário. Nossa missão é descobrir qual é o valor desse limite quando fica muito, mas muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a função limx to +infty arctan x = pi2 se comporta quando cresce sem limite. O é a função arco-tangente, que nos dá o ângulo cujo tangente é . À medida que vai para mais infinito, se aproxima de . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar a função limx to +infty raizx = +infty . À medida que cresce, também cresce, mas de forma mais lenta comparada a funções como ou . Porém, para nosso caso aqui, o importante é saber que tende a infinito quando tende a infinito:

Passo 4

Agora, juntando as duas observações:
lim x +infty arctan xraizx = pi2+infty
Quando temos uma constante dividida por algo que tende ao infinito, o resultado tende a zero.

Resposta

lim x +infty arctan xraizx = 0

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