Encontre o div F e o rot F.
F(x, y, z) = 7 y^3 z^2 i - 8 x^2 z^5 j - 3 x y^4 k div F = 0 e rot F = (40 x^2 z^4 - 12 x y^3) i + (14 y^3 z + 3 y^4) j - (16 x z^5 + 21 y^2 z^2) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o divergente ( div F) e o rotacional ( rot F) de um campo vetorial dado. Isso está relacionado ao estudo de Cálculo Vetorial, especificamente aos conceitos de divergência e rotacional que nos ajudam a entender como um campo vetorial se comporta no espaço. Para resolver, vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular a divergência e o rotacional de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses conceitos:
  • Divergente ( div F): Mede a “taxa de expansão” do campo vetorial em um ponto. Basicamente, indica se há uma “fonte” ou “sumidouro” naquele ponto.
  • Rotacional ( rot F): Mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. Indica se há “vorticidade” naquele ponto.
Agora, vamos às fórmulas:
  • Divergente:
  • Rotacional:

Passo 3

Vamos agora identificar os componentes do vetor F:
Então, temos:

Passo 4

Calculando a Divergência ( div F):
Aplicando a fórmula da divergência:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. :
    ãá
  2. :
    ãá
  3. :
    ãá
Somando tudo:

Passo 5

Calculando o Rotacional ( rot F):
Aplicando a fórmula do rotacional:
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente i:
  2. Componente vec(j):
  3. Componente k:

Resposta

Após os cálculos, encontramos que:
e

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