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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o divergente ( ) e o rotacional ( ) de um campo vetorial dado. Isso está relacionado ao estudo de Cálculo Vetorial, especificamente aos conceitos de divergência e rotacional que nos ajudam a entender como um campo vetorial se comporta no espaço. Para resolver, vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular a divergência e o rotacional de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses conceitos:
  • Divergente ( ): Mede a “taxa de expansão” do campo vetorial em um ponto. Basicamente, indica se há uma “fonte” ou “sumidouro” naquele ponto.
  • Rotacional ( ): Mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. Indica se há “vorticidade” naquele ponto.
Agora, vamos às fórmulas:
  • Divergente:
  • Rotacional:

Passo 3

Vamos agora identificar os componentes do vetor :
Então, temos:

Passo 4

Calculando a Divergência ( ):
Aplicando a fórmula da divergência:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. :
    ãá
  2. :
    ãá
  3. :
    ãá
Somando tudo:

Passo 5

Calculando o Rotacional ( ):
Aplicando a fórmula do rotacional:
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente :
  2. Componente :
  3. Componente :

Resposta

Após os cálculos, encontramos que:
e

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Usando a regra da cadeia, calcule a derivada parcial de primeira ordem com relação a da função , em que e . Justifique sua resposta com os cálculos.
Determine os domínios das funções abaixo e represente-os no plano xy:
(d)
(m)