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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o divergente (
) e o rotacional (
) de um campo vetorial dado. Isso está relacionado ao estudo de Cálculo Vetorial, especificamente aos conceitos de divergência e rotacional que nos ajudam a entender como um campo vetorial se comporta no espaço. Para resolver, vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular a divergência e o rotacional de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são esses conceitos:
-
Divergente (
): Mede a “taxa de expansão” do campo vetorial em um ponto. Basicamente, indica se há uma “fonte” ou “sumidouro” naquele ponto. -
Rotacional (
): Mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. Indica se há “vorticidade” naquele ponto.
Agora, vamos às fórmulas:
-
Divergente:
-
Rotacional:
Passo 3
Vamos agora identificar os componentes do vetor
:
Então, temos:
Passo 4
Calculando a Divergência (
):
Aplicando a fórmula da divergência:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
: -
: -
:
Somando tudo:
Passo 5
Calculando o Rotacional (
):
Aplicando a fórmula do rotacional:
Vamos calcular cada componente:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Resposta
Após os cálculos, encontramos que:
e
Exercícios relacionados
Usando a regra da cadeia, calcule a derivada parcial de primeira ordem com relação a
da função
, em que
e
. Justifique sua resposta com os cálculos.
Determine os domínios das funções abaixo e represente-os no plano xy:
(d)
(m)