Partindo da equação a conservação da quantidade de movimento (QM) na forma integral:
b. Considerando o tensor tensão para um fluido newtoniano em um escoamento incompressível,
, obtenha as equações de Navier-Stokes, isto é, as equações de conservação da massa e QM na forma diferencial, para um escoamento incompressível, de um fluido newtoniano, com viscosidade constante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para partirmos da equação da conservação da quantidade de movimento (QM) na forma integral e, usando o tensor de tensão para um fluido newtoniano incompressível, obter as equações de Navier-Stokes na forma diferencial. Basicamente, vamos trabalhar com dinâmica de fluidos, especificamente com escoamentos que têm viscosidade constante. Para isso, vamos precisar entender conceitos como tensor de tensão, leis de conservação e algumas operações matemáticas como derivadas e integrais em múltiplas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da conservação da quantidade de movimento na forma integral que foi dada:
Aqui,
é a massa,
é a velocidade,
é a densidade do fluido,
é o vetor velocidade,
é o volume do controle, e
é a área da superfície que envolve o volume. A equação diz que a taxa de variação da quantidade de movimento dentro do sistema é igual à soma da variação dentro do volume e do fluxo através da superfície.
Passo 3
Agora, vamos considerar o tensor de tensão para um fluido newtoniano incompressível:
Aqui,
é a pressão,
é a matriz identidade,
é a viscosidade dinâmica, e
representa o gradiente do campo de velocidade. Esse tensor descreve as tensões no fluido devido à pressão e à viscosidade.
Passo 4
Nosso objetivo é transformar a equação integral da conservação da QM em sua forma diferencial. Para isso, vamos aplicar o teorema de divergência, que relaciona integrais de volume com integrais de superfície. Aplicando esse teorema na equação da QM, temos:
Aqui,
representa forças externas por unidade de volume, como a força gravitacional.
Passo 5
Vamos agora substituir o tensor de tensão
na equação acima:
Expandindo a divergência do tensor de tensão:
Aqui, usamos a identidade de que
para um fluido incompressível.
Passo 6
Para finalizar, vamos considerar que o fluido é incompressível, ou seja, a divergência da velocidade é zero:
Isso simplifica a equação de conservação da massa, que se torna:
Como o fluido é incompressível e a densidade
é constante, temos:
Resposta
As equações de Navier-Stokes na forma diferencial para um escoamento incompressível de um fluido newtoniano com viscosidade constante são:
e a equação de conservação da massa é:
Onde:
-
é o vetor velocidade, -
é a pressão, -
é a densidade constante, -
é a viscosidade cinemática, -
são as forças externas por unidade de massa.