Partindo da equação a conservação da quantidade de movimento (QM) na forma integral:
  1. A partir da equação de conservação da QM para o escoamento incompressível de um fluido newtoniano com viscosidade constante (na forma vetorial) obtida na questão anterior,
a. Obtenha a forma adimensional desta equação como função dos números de Re (Reynolds), Fr (Froude), Eu (Euler) e St (Strouhal), consulte a seção 10.2 do Livro Çengel para verificar os parâmetros de escala para adimensionalização.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação de conservação da quantidade de movimento (QM) para um fluido incompressível e newtoniano com viscosidade constante. Nosso objetivo é transformar essa equação em uma forma adimensional, ou seja, sem unidades, usando alguns números importantes da mecânica dos fluidos: Reynolds (Re), Froude (Fr), Euler (Eu) e Strouhal (St). Para isso, vamos precisar entender como esses números estão relacionados aos termos da equação e escolher escalas adequadas para as variáveis envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para tornar uma equação adimensional, a gente escolhe escalas características para as variáveis que estão nas equações. Essas escalas servem como referência para medir as grandezas de forma relativa. Na seção 10.2 do livro do Çengel, geralmente escolhemos escalas para comprimento ( ), velocidade ( ), tempo ( ), pressão ( ) e densidade ( ).

Passo 3

Agora, vamos definir as variáveis dimensionais e suas correspondentes adimensionais:
  • Comprimento:
  • Velocidade:
  • Tempo:
  • Pressão:
  • Força Gravitacional:
Aqui, os primos indicam que as variáveis são adimensionais.

Passo 4

Vamos substituir essas variáveis adimensionais na equação de conservação da QM:
Substituindo, temos:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. Termo da aceleração temporal:
  2. Termo da aceleração convectiva:
  3. Termo da pressão:
  4. Termo da viscosidade:
  5. Termo da força gravitacional:

Passo 6

Agora, vamos reunir todos os termos:
Dividindo toda a equação por :

Passo 7

Agora, vamos identificar os números adimensionais:
  1. Número de Reynolds (Re):
    Portanto, .
  2. Número de Froude (Fr):
  3. Número de Euler (Eu):
  4. Número de Strouhal (St):
Substituindo esses números na equação, temos:

Resposta

A forma adimensional da equação de conservação da quantidade de movimento é:
Onde:
  • é o número de Reynolds,
  • é o número de Froude,
  • é o número de Euler,
  • é o número de Strouhal.
Essa equação adimensionaliza os termos de inércia, pressão, viscosidade e força gravitacional, facilitando a análise de diferentes regimes de fluxo.

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