(d) Onde f não é diferenciável?
f(x) = { 0 se x <= 0; 5 - x se 0 < x < 4; 1 / (5 - x) se x >= 4 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver onde a função não é diferenciável. Essa questão está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente sobre diferenciabilidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e analisar os pontos onde a definição da função muda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável num ponto se ela é contínua ali e se a derivada existe nesse ponto. Para funções definidas por partes, como a nossa, precisamos verificar a continuidade e as derivadas nos pontos onde muda a definição da função, que nesse caso são e .

Passo 3

Vamos começar verificando a continuidade em . Olhamos os limites pela esquerda e pela direita:
  • Para , , então o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda é 0.
  • Para , , então o limite quando se aproxima de 0 pela direita é .
Como os limites não são iguais, a função não é contínua em , o que já significa que não é diferenciável ali.

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em :
  • Para , , então o limite quando se aproxima de 4 pela esquerda é .
  • Para , , que se aproxima de quando se aproxima de 4 pela direita.
Os limites são iguais, então a função é contínua em .

Passo 5

Agora que sabemos que a função é contínua em , precisamos verificar se as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são iguais:
  • Para , a derivada de é .
  • Para , a derivada de é .
Calculando a derivada à direita de 4: .
Comparando com a derivada à esquerda, que é , vemos que elas não são iguais. Portanto, a função não é diferenciável em .

Resposta

A função não é diferenciável nos pontos e .

Exercícios relacionados

(b) Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tangentes na mesma tela.
© Faça o gráfico da curva e de ambas as tangentes em uma mesma tela.
(b) Esboce o gráfico de f.
f(x) = { 0 se x <= 0; 5 - x se 0 < x < 4; 1 / (5 - x) se x >= 4 }
(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a).