Beleza, vamos resolver onde a função não é diferenciável. Essa questão está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente sobre diferenciabilidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e analisar os pontos onde a definição da função muda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável num ponto se ela é contínua ali e se a derivada existe nesse ponto. Para funções definidas por partes, como a nossa, precisamos verificar a continuidade e as derivadas nos pontos onde muda a definição da função, que nesse caso são e .
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade em . Olhamos os limites pela esquerda e pela direita:
Para , , então o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda é 0.
Para , , então o limite quando se aproxima de 0 pela direita é .
Como os limites não são iguais, a função não é contínua em , o que já significa que não é diferenciável ali.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em :
Para , , então o limite quando se aproxima de 4 pela esquerda é .
Para , , que se aproxima de quando se aproxima de 4 pela direita.
Os limites são iguais, então a função é contínua em .
Passo 5
Agora que sabemos que a função é contínua em , precisamos verificar se as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são iguais:
Para , a derivada de é .
Para , a derivada de é .
Calculando a derivada à direita de 4: .
Comparando com a derivada à esquerda, que é , vemos que elas não são iguais. Portanto, a função não é diferenciável em .