onde e são chamadas constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
a) Encontre todos os pontos de equilíbrio da equação acima e classifique-os quanto a sua estabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais juntos! A gente tem a equação onde e são constantes positivas. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos de equilíbrio dessa equação e dizer se eles são estáveis ou instáveis. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos de equilíbrio e como analisamos a estabilidade deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos de equilíbrio. Em uma equação diferencial como essa, um ponto de equilíbrio é um valor de onde a taxa de variação é zero. Isso significa que, nesse ponto, a quantidade não está aumentando nem diminuindo.

Passo 3

Então, para encontrar os pontos de equilíbrio, precisamos resolver a equação:
Vamos fatorar :

Passo 4

Agora, igualamos cada fator a zero:
Resolvendo a segunda equação para :

Passo 5

Então, os pontos de equilíbrio são:
Agora precisamos classificar a estabilidade de cada um desses pontos.

Passo 6

Para analisar a estabilidade, vamos calcular a derivada da função em relação a :

Passo 7

A estabilidade depende do sinal de nos pontos de equilíbrio:
  • Se , o ponto é estável (atraente).
  • Se , o ponto é instável (repulsivo).
Vamos avaliar em cada ponto de equilíbrio.

Passo 8

Primeiro, para :
Aqui, temos uma divisão por zero, o que indica que a derivada tende ao infinito positivo. Portanto, , o que significa que o ponto é instável.

Passo 9

Segundo, para :
Como , o ponto é estável.

Resposta

Os pontos de equilíbrio são (instável) e (estável).

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