onde
e
são chamadas constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
a) Encontre todos os pontos de equilíbrio da equação acima e classifique-os quanto a sua estabilidade.
a) Encontre todos os pontos de equilíbrio da equação acima e classifique-os quanto a sua estabilidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais juntos! A gente tem a equação
onde
e
são constantes positivas. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos de equilíbrio dessa equação e dizer se eles são estáveis ou instáveis. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos de equilíbrio e como analisamos a estabilidade deles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos de equilíbrio. Em uma equação diferencial como essa, um ponto de equilíbrio é um valor de
onde a taxa de variação
é zero. Isso significa que, nesse ponto, a quantidade
não está aumentando nem diminuindo.
Passo 3
Então, para encontrar os pontos de equilíbrio, precisamos resolver a equação:
Vamos fatorar
:
Passo 4
Agora, igualamos cada fator a zero:
Resolvendo a segunda equação para
:
Passo 5
Então, os pontos de equilíbrio são:
Agora precisamos classificar a estabilidade de cada um desses pontos.
Passo 6
Para analisar a estabilidade, vamos calcular a derivada da função
em relação a
:
Passo 7
A estabilidade depende do sinal de
nos pontos de equilíbrio:
- Se
, o ponto é estável (atraente). - Se
, o ponto é instável (repulsivo).
Vamos avaliar
em cada ponto de equilíbrio.
Passo 8
Primeiro, para
:
Aqui, temos uma divisão por zero, o que indica que a derivada tende ao infinito positivo. Portanto,
, o que significa que o ponto
é instável.
Passo 9
Segundo, para
:
Como
, o ponto
é estável.
Resposta
Os pontos de equilíbrio são
(instável) e
(estável).
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?
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