Determine uma EDO linear homogênea para a qual as funções dadas formam uma base de soluções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea para a qual as funções
,
,
e
sejam uma base de soluções. Isso envolve usar conceitos de equações diferenciais lineares e a ideia de soluções lineares independentes. Vamos precisar lembrar como construir a equação a partir das soluções dadas.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos quatro soluções dadas: duas funções polinomiais (
e
) e duas funções exponenciais multiplicadas por polinômios (
e
). Isso sugere que a EDO terá raízes múltiplas no seu polinômio característico.
Passo 3
Para construir a EDO, vamos considerar que cada solução corresponde a uma raiz do polinômio característico. As soluções
e
indicam que temos uma raiz simples
com multiplicidade 2. Já as soluções
e
indicam uma raiz
também com multiplicidade 2.
Passo 4
Sabendo disso, podemos escrever o polinômio característico da EDO. Se as raízes são
(com multiplicidade 2) e
(com multiplicidade 2), então o polinômio é:
Passo 5
Expandindo esse polinômio para obter a forma padrão da equação diferencial:
Passo 6
A equação diferencial correspondente tem os coeficientes obtidos a partir dos termos do polinômio característico. A EDO linear homogênea de quarta ordem será:
Resposta
A EDO linear homogênea para a qual as funções dadas formam uma base de soluções é:
Exercícios relacionados
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
onde
e
são chamadas constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
a) Encontre todos os pontos de equilíbrio da equação acima e classifique-os quanto a sua estabilidade.
a) Encontre todos os pontos de equilíbrio da equação acima e classifique-os quanto a sua estabilidade.
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Determine uma EDO linear homogênea para a qual as funções dadas formam uma base de soluções: