Determine uma EDO linear homogênea para a qual as funções dadas formam uma base de soluções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea para a qual as funções , , e sejam uma base de soluções. Isso envolve usar conceitos de equações diferenciais lineares e a ideia de soluções lineares independentes. Vamos precisar lembrar como construir a equação a partir das soluções dadas.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos quatro soluções dadas: duas funções polinomiais ( e ) e duas funções exponenciais multiplicadas por polinômios ( e ). Isso sugere que a EDO terá raízes múltiplas no seu polinômio característico.

Passo 3

Para construir a EDO, vamos considerar que cada solução corresponde a uma raiz do polinômio característico. As soluções e indicam que temos uma raiz simples com multiplicidade 2. Já as soluções e indicam uma raiz também com multiplicidade 2.

Passo 4

Sabendo disso, podemos escrever o polinômio característico da EDO. Se as raízes são (com multiplicidade 2) e (com multiplicidade 2), então o polinômio é:

Passo 5

Expandindo esse polinômio para obter a forma padrão da equação diferencial:

Passo 6

A equação diferencial correspondente tem os coeficientes obtidos a partir dos termos do polinômio característico. A EDO linear homogênea de quarta ordem será:

Resposta

A EDO linear homogênea para a qual as funções dadas formam uma base de soluções é:

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Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
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Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
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