Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos essa equação diferencial:
. Esse problema está na área de equações diferenciais ordinárias, especificamente envolvendo equações lineares de alta ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que envolve encontrar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Ao substituir essa suposição na equação diferencial, cada derivada de
trará um fator de
.
Passo 3
Substituindo
na equação
, temos:
Como
nunca é zero, podemos dividir toda a equação por
:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica:
Vamos fazer uma substituição para simplificar: seja
. Assim, a equação fica:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções para
são:
Passo 6
Voltando à substituição
, temos:
-
Para
: -
Para
:
Passo 7
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais e distintas
e
, e raízes complexas
e
, a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
onde
e
são chamadas constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
a) Encontre todos os pontos de equilíbrio da equação acima e classifique-os quanto a sua estabilidade.
a) Encontre todos os pontos de equilíbrio da equação acima e classifique-os quanto a sua estabilidade.
As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo
?
Determine uma EDO linear homogênea para a qual as funções dadas formam uma base de soluções:
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.