Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos essa equação diferencial: . Esse problema está na área de equações diferenciais ordinárias, especificamente envolvendo equações lineares de alta ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que envolve encontrar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Ao substituir essa suposição na equação diferencial, cada derivada de trará um fator de .

Passo 3

Substituindo na equação , temos:
Como nunca é zero, podemos dividir toda a equação por :

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica:
Vamos fazer uma substituição para simplificar: seja . Assim, a equação fica:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções para são:

Passo 6

Voltando à substituição , temos:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 7

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais e distintas e , e raízes complexas e , a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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