Determine uma EDO linear homogênea para a qual as funções dadas formam uma base de soluções:
y1 = e^x, y2 = x e^x, y3 = x^2 e^x

Passo 1

Beleza, então o problema pede para a gente encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea para a qual as funções , e são soluções. Isso envolve entender EDOs lineares, soluções homogêneas e como usar essas soluções para montar a equação.

Passo 2

Primeiro, percebemos que temos três soluções diferentes. Isso indica que a EDO que estamos procurando provavelmente é de terceira ordem, já que cada solução adicional geralmente aumenta a ordem da equação.

Passo 3

Observando as soluções fornecidas, todas elas são múltiplos de com fatores de e . Isso sugere que a equação característica associada a essa EDO tem uma raiz tripla em . A equação característica para uma EDO linear de coeficientes constantes é encontrada substituindo na EDO e resolvendo para .

Passo 4

Com uma raiz tripla em , a equação característica fica . Expandindo isso, temos:
Agora, substituímos por (onde representa a derivada) para obter a EDO:
Simplificando a notação, fica:

Resposta

A EDO linear homogênea é:

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