Determine uma EDO linear homogênea para a qual as funções dadas formam uma base de soluções:
Passo 1
Beleza, então o problema pede para a gente encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea para a qual as funções
,
e
são soluções. Isso envolve entender EDOs lineares, soluções homogêneas e como usar essas soluções para montar a equação.
Passo 2
Primeiro, percebemos que temos três soluções diferentes. Isso indica que a EDO que estamos procurando provavelmente é de terceira ordem, já que cada solução adicional geralmente aumenta a ordem da equação.
Passo 3
Observando as soluções fornecidas, todas elas são múltiplos de
com fatores de
e
. Isso sugere que a equação característica associada a essa EDO tem uma raiz tripla em
. A equação característica para uma EDO linear de coeficientes constantes é encontrada substituindo
na EDO e resolvendo para
.
Passo 4
Com uma raiz tripla em
, a equação característica fica
. Expandindo isso, temos:
Agora, substituímos
por
(onde
representa a derivada) para obter a EDO:
Simplificando a notação, fica:
Resposta
A EDO linear homogênea é:
Exercícios relacionados
As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo
?
Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).
As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo
?
onde
e
são chamadas constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
a) Encontre todos os pontos de equilíbrio da equação acima e classifique-os quanto a sua estabilidade.
a) Encontre todos os pontos de equilíbrio da equação acima e classifique-os quanto a sua estabilidade.