onde
é a temperatura no prédio num instante
é a temperatura externa,
é a temperatura desejada para o prédio,
é a taxa de aumento de
decorrente do funcionamento de máquinas e da presença de pessoas no prédio, e
e
são constantes (negativas). Resolva essa EDO, supondo que
constante,
constante, e
varie senoidalmente ao longo de 24h, digamos
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui,
representa a temperatura no prédio no tempo
,
é a temperatura externa que varia senoidalmente,
é a temperatura desejada,
é a taxa de aumento de temperatura devido a máquinas e pessoas, e
e
são constantes negativas. Para resolver essa equação, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e considerar a variação senoidal de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 3
A equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
onde:
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 4
O fator integrante,
, é dado por:
Multiplicando toda a equação diferencial por
:
Passo 5
A equação fica:
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Sabemos que
. Vamos substituir
na integral:
Simplificando:
Passo 7
Resolvemos as integrais separadamente. A primeira integral é uma integral de função exponencial:
A segunda integral envolve uma exponencial e uma função cosseno, que pode ser resolvida usando a fórmula da integração por partes ou tabelas de integrais:
onde
e
.
Passo 8
Substituindo de volta, temos:
Passo 9
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
A constante
representa a solução da equação homogênea.
Passo 10
Finalmente, a solução geral para a temperatura no prédio é:
Esta expressão nos dá a temperatura
em qualquer instante
, considerando as condições constantes e a variação senoidal da temperatura externa.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: