T' = k1*(T - T_alpha) + k2*(T - T_omega) + P
onde T = T(t) é a temperatura no prédio num instante t, T_alpha é a temperatura externa, T_ω é a temperatura desejada para o prédio, P é a taxa de aumento de T decorrente do funcionamento de máquinas e da presença de pessoas no prédio, e k1 e k2 são constantes (negativas). Resolva essa EDO, supondo que P = constante, T_ω constante, e T_alpha varie senoidalmente ao longo de 24h, digamos
T_alpha = A - C * cos(2 * pi / 24 * t)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
T' = k1*(T - T_alpha) + k2*(T - T_omega) + P
Aqui, T(t) representa a temperatura no prédio no tempo t, T_alpha é a temperatura externa que varia senoidalmente, T_ω é a temperatura desejada, P é a taxa de aumento de temperatura devido a máquinas e pessoas, e k1 e k2 são constantes negativas. Para resolver essa equação, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e considerar a variação senoidal de T_alpha.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 3

A equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
onde:
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 4

O fator integrante, , é dado por:
Multiplicando toda a equação diferencial por :

Passo 5

A equação fica:
Integrando ambos os lados em relação a t:
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Sabemos que . Vamos substituir T_alpha na integral:
Simplificando:

Passo 7

Resolvemos as integrais separadamente. A primeira integral é uma integral de função exponencial:
A segunda integral envolve uma exponencial e uma função cosseno, que pode ser resolvida usando a fórmula da integração por partes ou tabelas de integrais:
onde e .

Passo 8

Substituindo de volta, temos:

Passo 9

Multiplicamos ambos os lados por para isolar T:
A constante representa a solução da equação homogênea.

Passo 10

Finalmente, a solução geral para a temperatura no prédio é:
Esta expressão nos dá a temperatura T(t) em qualquer instante t, considerando as condições constantes e a variação senoidal da temperatura externa.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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