(d) O que podemos afirmar em relação às magnitudes das soluções quando Re(k) = 0?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber o que acontece com as magnitudes das soluções quando a parte real de é igual a zero, ou seja, quando . Vamos precisar entender como a parte real de um número complexo afeta a magnitude das soluções de equações diferenciais ou funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que qualquer número complexo pode ser escrito como , onde é a parte real e é a parte imaginária. Quando trabalhamos com soluções de equações diferenciais que envolvem exponenciais complexas, temos expressões do tipo .

Passo 3

Vamos analisar a magnitude dessa solução. A magnitude de um número complexo é dada por:
Isso porque a parte imaginária contribui apenas para a fase da exponencial, não afetando sua magnitude.

Passo 4

Agora, considerando que , substituímos na expressão da magnitude:
Isso significa que a magnitude da solução é constante e igual a 1 ao longo do tempo.

Resposta

Quando , as magnitudes das soluções são constantes.

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