(d) O que podemos afirmar em relação às magnitudes das soluções quando ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber o que acontece com as magnitudes das soluções quando a parte real de é igual a zero, ou seja, quando . Vamos precisar entender como a parte real de um número complexo afeta a magnitude das soluções de equações diferenciais ou funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que qualquer número complexo pode ser escrito como , onde é a parte real e é a parte imaginária. Quando trabalhamos com soluções de equações diferenciais que envolvem exponenciais complexas, temos expressões do tipo .

Passo 3

Vamos analisar a magnitude dessa solução. A magnitude de um número complexo é dada por:
Isso porque a parte imaginária contribui apenas para a fase da exponencial, não afetando sua magnitude.

Passo 4

Agora, considerando que , substituímos na expressão da magnitude:
Isso significa que a magnitude da solução é constante e igual a 1 ao longo do tempo.

Resposta

Quando , as magnitudes das soluções são constantes.

Exercícios relacionados

3.2. SÉRIE DE TAYLOR & SÉRIE MACLAURIN
  1. Represente as seguintes funções em séries de potências de :
    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)
    (f)
    (g)
    (h)
    (i)
    (j)
    (k)
    (l)
Resolva o problema de valor inicial vetorial para por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração. 46.
  1. Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
    (a) Se a série diverge em , então ela diverge em .
    (b) Se a série converge em , então ela converge em .
    © Se é convergente, então é absolutamente convergente no intervalo .
    (d) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
    (e) Se é o raio de convergência de , então é o raio de convergência de .
    (f) Se , então a série tem raio de convergência .
    (g) Uma série de potências pode convergir apenas em dois valores de .
    (h) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
    (i) Se tem raio de convergência 2 e tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de é .