(d) O que podemos afirmar em relação às magnitudes das soluções quando
?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber o que acontece com as magnitudes das soluções quando a parte real de
é igual a zero, ou seja, quando
. Vamos precisar entender como a parte real de um número complexo afeta a magnitude das soluções de equações diferenciais ou funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que qualquer número complexo
pode ser escrito como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Quando trabalhamos com soluções de equações diferenciais que envolvem exponenciais complexas, temos expressões do tipo
.
Passo 3
Vamos analisar a magnitude dessa solução. A magnitude de um número complexo
é dada por:
Isso porque a parte imaginária
contribui apenas para a fase da exponencial, não afetando sua magnitude.
Passo 4
Agora, considerando que
, substituímos na expressão da magnitude:
Isso significa que a magnitude da solução é constante e igual a 1 ao longo do tempo.
Resposta
Quando
, as magnitudes das soluções são constantes.
Exercícios relacionados
3.2. SÉRIE DE TAYLOR & SÉRIE MACLAURIN
- Represente as seguintes funções em séries de potências de
:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Resolva o problema de valor inicial vetorial para
por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração. 46.
- Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
(a) Se a sériediverge em , então ela diverge em .
(b) Se a sérieconverge em , então ela converge em .
© Seé convergente, então é absolutamente convergente no intervalo .
(d) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
(e) Seé o raio de convergência de , então é o raio de convergência de .
(f) Se, então a série tem raio de convergência .
(g) Uma série de potênciaspode convergir apenas em dois valores de .
(h) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
(i) Setem raio de convergência 2 e tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de é .