Resolva o problema de valor inicial vetorial para
por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração. 46.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial vetorial que descreve a derivada de um vetor
em relação ao tempo
. O objetivo é encontrar a função
usando integração e as condições iniciais dadas. Aqui, vamos mexer com equações diferenciais e integração vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Para encontrar
, precisamos integrar essa derivada em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar cada componente separadamente. A integração de um vetor é feita componente a componente:
Passo 4
Agora, vamos calcular as integrais:
-
Para a componente
: -
Para a componente
:
Então, a solução geral fica:
Onde
são as constantes de integração que precisamos determinar.
Passo 5
Para achar as constantes
e
, usamos a condição inicial que nos foi dada:
Vamos substituir
na solução geral:
Sabemos que e
, então:
Agora, igualamos as componentes:
-
Componente
: -
Componente
:
Resposta
Substituindo as constantes encontradas na solução geral, temos:
Simplificando, fica: