Resolva o problema de valor inicial vetorial para y(t) por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração. 46. y'(t) = cos(t) i + sen(t) j, y(0) = i - j

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial vetorial que descreve a derivada de um vetor y(t) em relação ao tempo t. O objetivo é encontrar a função y(t) usando integração e as condições iniciais dadas. Aqui, vamos mexer com equações diferenciais e integração vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Para encontrar , precisamos integrar essa derivada em relação a y(t).

Passo 3

Vamos integrar cada componente separadamente. A integração de um vetor é feita componente a componente:

Passo 4

Agora, vamos calcular as integrais:
  • Para a componente i:
  • Para a componente :
Então, a solução geral fica:
Onde j são as constantes de integração que precisamos determinar.

Passo 5

Para achar as constantes e , usamos a condição inicial que nos foi dada:
Vamos substituir na solução geral:
Sabemos que e , então:
Agora, igualamos as componentes:
  • Componente :
  • Componente i:

Resposta

Substituindo as constantes encontradas na solução geral, temos:
Simplificando, fica:

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