(d) ( 1,0 ponto) Determine um vetor que seja, ao mesmo tempo, ortogonal aos vetores e .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar um vetor que seja, ao mesmo tempo, ortogonal aos vetorese. Ou seja, precisamos encontrar um vetor que forme um ângulo de 90 graus com ambos os vetores e . Para isso, vamos utilizar o produto vetorial, que é uma ferramenta matemática muito legal para encontrar vetores perpendiculares a dois vetores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa vetores ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) entre eles for zero:
Isso significa que os vetores estão perpendiculares um ao outro. No entanto, para encontrar um vetor que seja ortogonal a dois vetores simultaneamente, precisamos de uma abordagem diferente.
Passo 3
Aqui entra o produto vetorial! O produto vetorial de dois vetores e resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Onde:
é o vetor resultante,
denota o produto vetorial.
Passo 4
Vamos entender como calcular esse produto vetorial. Suponha que os vetores e sejam definidos em três dimensões da seguinte forma:
Então, o produto vetorial é calculado assim:
Esse vetor será ortogonal a ambos e .
Passo 5
Vamos ver um exemplo prático. Suponha que:
u = 1 2 3 , v = 4 5 6
Calculando o produto vetorial:
w = u times v = (2)(6) - (3)(5) (3)(4) - (1)(6) (1)(5) - (2)(4) = 12 - 15 12 - 6 5 - 8 = -3 6 -3