(d) ( 1,0 ponto) Determine um vetor que seja, ao mesmo tempo, ortogonal aos vetores u e v.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar um vetor que seja, ao mesmo tempo, ortogonal aos vetores e . Ou seja, precisamos encontrar um vetor que forme um ângulo de 90 graus com ambos os vetores e . Para isso, vamos utilizar o produto vetorial, que é uma ferramenta matemática muito legal para encontrar vetores perpendiculares a dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa vetores ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) entre eles for zero:
u cdot v = 0
Isso significa que os vetores estão perpendiculares um ao outro. No entanto, para encontrar um vetor que seja ortogonal a dois vetores simultaneamente, precisamos de uma abordagem diferente.

Passo 3

Aqui entra o produto vetorial! O produto vetorial de dois vetores w = u times v e resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Onde:
  • é o vetor resultante,
  • denota o produto vetorial.

Passo 4

Vamos entender como calcular esse produto vetorial. Suponha que os vetores u = u1 u2 u3 , v = v1 v2 v3 e w = u times v = u2 v3 - u3 v2 u3 v1 - u1 v3 u1 v2 - u2 v1 sejam definidos em três dimensões da seguinte forma:
Então, o produto vetorial é calculado assim:
Esse vetor será ortogonal a ambos e .

Passo 5

Vamos ver um exemplo prático. Suponha que:
u = 1 2 3 , v = 4 5 6
Calculando o produto vetorial:
w = u times v = (2)(6) - (3)(5) (3)(4) - (1)(6) (1)(5) - (2)(4) = 12 - 15 12 - 6 5 - 8 = -3 6 -3
Portanto, o vetor -3 6 -3 é ortogonal a ambos e .

Resposta

Um vetor ortogonal aos vetores -3 6 -3 e é .

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