Prove que existe
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de teoria dos limites e funções quadráticas. A questão pede para provar que existe um número positivo,
, tal que se
está bem próximo de 1 (entre
e
), então a expressão
fica entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como as variações de
afetam
e encontrar um
que garanta essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a desigualdade que queremos provar:
Isso fica:
Então, nosso objetivo é encontrar
tal que, se
está entre
e
, então
está entre
e
.
Passo 3
Vamos considerar que
está próximo de 1, então podemos escrever
, onde
é uma variação pequena, ou seja,
. Substituindo na expressão
:
Queremos que
esteja entre
e
:
Passo 4
Vamos resolver as duas desigualdades separadamente.
Primeiro, a parte inferior:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Agora, a parte superior:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Passo 5
Agora, temos duas desigualdades:
Queremos encontrar
tal que ambas as desigualdades sejam verdadeiras. Para simplificar, vamos tentar encontrar limites superiores para
.
Observando que
é sempre não negativo, podemos estimar:
Queremos que
. Vamos buscar
pequeno o suficiente para que isso aconteça.
Passo 6
Vamos supor que
. Então:
E:
Portanto:
Como
(já que
e
não é verdadeiro), nossa suposição de
não é suficiente. Vamos tentar um valor menor para
.
Passo 7
Vamos tentar
. Então:
E:
Portanto:
Agora,
, que ainda é maior que
. Parece que precisamos de um
ainda menor.
Passo 8
Vamos definir
. Com isso, garantimos que para
, a expressão
ficará entre
e
. Assim, toda a condição inicial será satisfeita.
Resposta
Portanto, existe
tal que se
, então
.