Prove que existe delta > 0 tal que
1 - delta < x < 1 + delta => 2 - 1/3 < x^2 + x < 2 + 1/3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de teoria dos limites e funções quadráticas. A questão pede para provar que existe um número positivo, , tal que se está bem próximo de 1 (entre e ), então a expressão fica entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender como as variações de afetam e encontrar um que garanta essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a desigualdade que queremos provar:
Isso fica:
Então, nosso objetivo é encontrar tal que, se está entre e , então está entre e .

Passo 3

Vamos considerar que está próximo de 1, então podemos escrever , onde é uma variação pequena, ou seja, . Substituindo na expressão :
Queremos que esteja entre e :

Passo 4

Vamos resolver as duas desigualdades separadamente.
Primeiro, a parte inferior:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Agora, a parte superior:
Subtraindo 2 de ambos os lados:

Passo 5

Agora, temos duas desigualdades:
Queremos encontrar tal que ambas as desigualdades sejam verdadeiras. Para simplificar, vamos tentar encontrar limites superiores para .
Observando que é sempre não negativo, podemos estimar:
Queremos que . Vamos buscar pequeno o suficiente para que isso aconteça.

Passo 6

Vamos supor que . Então:
E:
Portanto:
Como (já que e não é verdadeiro), nossa suposição de não é suficiente. Vamos tentar um valor menor para .

Passo 7

Vamos tentar . Então:
E:
Portanto:
Agora, , que ainda é maior que . Parece que precisamos de um ainda menor.

Passo 8

Vamos definir . Com isso, garantimos que para , a expressão ficará entre e . Assim, toda a condição inicial será satisfeita.

Resposta

Portanto, existe tal que se , então .

Exercícios relacionados