Obter
que parametriza a curva de equação
. Esboce o gráfico da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma função paramétrica
que descreva a curva dada pela equação
. Além disso, temos que esboçar o gráfico dessa curva. Isso envolve conhecimentos de álgebra para reescrever a equação e entender que tipo de curva estamos lidando, provavelmente uma elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para completar os quadrados dos termos de
e
. Isso nos ajuda a colocar a equação na forma padrão de uma conic section, facilitando a parametrização.
A equação original é:
Vamos agrupar os termos de
e
:
Passo 3
Agora, completamos os quadrados para
e
.
Para
:
Completa o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Para
:
Completa o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Passo 4
Substituímos de volta na equação original:
Simplificamos:
Dividimos ambos os lados por 36 para obter a forma padrão:
Essa é a equação padrão de uma elipse centrada em
com semi-eixos de comprimento 2 (horizontal) e 3 (vertical).
Passo 5
Agora, vamos parametrizar a elipse. Sabemos que a parametrização de uma elipse na forma
é dada por:
onde
varia de 0 a
.
No nosso caso,
,
,
e
. Então substituindo esses valores na parametrização: