Obter r(t) que parametriza a curva de equação 9x^2 + 4y^2 - 54x + 16y + 61 = 0. Esboce o gráfico da curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma função paramétrica que descreva a curva dada pela equação . Além disso, temos que esboçar o gráfico dessa curva. Isso envolve conhecimentos de álgebra para reescrever a equação e entender que tipo de curva estamos lidando, provavelmente uma elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para completar os quadrados dos termos de e . Isso nos ajuda a colocar a equação na forma padrão de uma conic section, facilitando a parametrização.
A equação original é:
Vamos agrupar os termos de e :

Passo 3

Agora, completamos os quadrados para e .
Para :
Completa o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Para :
Completa o quadrado dentro do parêntese:
Então:

Passo 4

Substituímos de volta na equação original:
Simplificamos:
Dividimos ambos os lados por 36 para obter a forma padrão:
Essa é a equação padrão de uma elipse centrada em com semi-eixos de comprimento 2 (horizontal) e 3 (vertical).

Passo 5

Agora, vamos parametrizar a elipse. Sabemos que a parametrização de uma elipse na forma é dada por:
onde varia de 0 a .
No nosso caso, , , e . Então substituindo esses valores na parametrização:

Resposta

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