d r / d theta + 2 r cos(2 theta) = sen(4 theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos é uma equação diferencial da forma:
Aqui, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares para resolver. Precisamos encontrar uma função que satisfaça essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial. Ela está na forma padrão de uma equação linear:
Onde:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar os dois lados da equação com relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral no lado direito. Observe que:
Então, a integral fica:
Fazendo a substituição , temos . Assim, a integral se torna:

Passo 7

Substituindo de volta na equação anterior:
Agora, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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