Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos é uma equação diferencial da forma:
Aqui, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares para resolver. Precisamos encontrar uma função que satisfaça essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial. Ela está na forma padrão de uma equação linear:
Onde:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar os dois lados da equação com relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral no lado direito. Observe que:
Então, a integral fica:
Fazendo a substituição , temos . Assim, a integral se torna:

Passo 7

Substituindo de volta na equação anterior:
Agora, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Prove que:
(a)
Equação de Ricatti: A equação
onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
Estoques
A Regata S/A quer decidir quantos barcos produzir nos próximos 4 trimestres, de modo a satisfazer sua demanda a um menor custo:
Trim. 1 Trim. 2 Trim. 3 Trim. 4
Demanda 40 60 75 25
A Regata deve atender seus pedidos em dia. No início do 10 trimestre, 10 barcos estão em estoque.
No início de cada trimestre, a Regata deve decidir quantos barcos serão produzidos naquele trimestre.
Barcos produzidos num trimestre podem ser usados para atender à pedidos naquele mesmo trimestre (pedidos são atendidos no final do trimestre).
A Regata por produzir até 40 barcos/trimestre a um custo de barco. Para aumentar a produção, pode usar horas-extra, a um custo de $450/barco. Estocar um barco de um trimestre para outro custa barco.
Formule o problema tal que a demanda seja atendida à um mínimo custo.
O Problema da Dieta
Objetivo: Compor uma dieta com leite, carne, peixe e salada que, atenda as requisitos nutricionais custe o mínimo possível.
Vitamina Leite Carne Peixe Salada Requisito
A 2 mg 2 mg 10 mg 20 mg 11 mg
C 50 mg 20 mg 10 mg 30 mg 70 mg
D 80 mg 70 mg 10 mg 80 mg 250 mg
Custo