Prove que:
(a) sumk=1^+infty 3^k+5^k15^k=34

Passo 1

Então, a gente precisa provar que a soma infinita é igual a . Vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma em duas partes para facilitar:
sumk=1^+infty 3^k+5^k15^k = sumk=1^+infty 3^k15^k + sumk=1^+infty 5^k15^k
Isso é possível porque a soma de duas séries é igual à soma das somas.

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada fração:
Para a primeira soma:
3^k15^k = (315)^k = (15)^k
Para a segunda soma:
5^k15^k = (515)^k = (13)^k

Passo 4

Agora, reconhecemos que cada uma dessas séries é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumk=1^+infty r^k = r1 - r, onde |r| < 1

Passo 5

Aplicando a fórmula das séries geométricas:
Para a primeira soma ( sumk=1^+infty (15)^k = 151 - 15 = 1545 = 14 ):
sumk=1^+infty (13)^k = 131 - 13 = 1323 = 12
Para a segunda soma ( ):

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas séries:
14 + 12 = 14 + 24 = 34

Resposta

Portanto, .

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