Prove que:
(a)
(a)
Passo 1
Então, a gente precisa provar que a soma infinita
é igual a
. Vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a soma em duas partes para facilitar:
Isso é possível porque a soma de duas séries é igual à soma das somas.
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada fração:
Para a primeira soma:
Para a segunda soma:
Passo 4
Agora, reconhecemos que cada uma dessas séries é uma série geométrica, que tem a forma geral:
Passo 5
Aplicando a fórmula das séries geométricas:
Para a primeira soma (
):
Para a segunda soma (
):
Passo 6
Agora, somamos os resultados das duas séries:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Equação de Ricatti: A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
Justifique as seguintes igualdades:
©
©
Estoques
A Regata S/A quer decidir quantos barcos produzir nos próximos 4 trimestres, de modo a satisfazer sua demanda a um menor custo:
A Regata S/A quer decidir quantos barcos produzir nos próximos 4 trimestres, de modo a satisfazer sua demanda a um menor custo:
Trim. 1 | Trim. 2 | Trim. 3 | Trim. 4 | |
---|---|---|---|---|
Demanda | 40 | 60 | 75 | 25 |
A Regata deve atender seus pedidos em dia. No início do 10 trimestre, 10 barcos estão em estoque.
No início de cada trimestre, a Regata deve decidir quantos barcos serão produzidos naquele trimestre.
Barcos produzidos num trimestre podem ser usados para atender à pedidos naquele mesmo trimestre (pedidos são atendidos no final do trimestre).
A Regata por produzir até 40 barcos/trimestre a um custo de barco. Para aumentar a produção, pode usar horas-extra, a um custo de $450/barco. Estocar um barco de um trimestre para outro custa
barco.
Formule o problema tal que a demanda seja atendida à um mínimo custo.
No início de cada trimestre, a Regata deve decidir quantos barcos serão produzidos naquele trimestre.
Barcos produzidos num trimestre podem ser usados para atender à pedidos naquele mesmo trimestre (pedidos são atendidos no final do trimestre).
A Regata por produzir até 40 barcos/trimestre a um custo de
Formule o problema tal que a demanda seja atendida à um mínimo custo.