Prove que:
(a)

Passo 1

Então, a gente precisa provar que a soma infinita é igual a . Vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma em duas partes para facilitar:
Isso é possível porque a soma de duas séries é igual à soma das somas.

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada fração:
Para a primeira soma:
Para a segunda soma:

Passo 4

Agora, reconhecemos que cada uma dessas séries é uma série geométrica, que tem a forma geral:

Passo 5

Aplicando a fórmula das séries geométricas:
Para a primeira soma ( ):
Para a segunda soma ( ):

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas séries:

Resposta

Portanto, .

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Equação de Ricatti: A equação
onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
Justifique as seguintes igualdades:
©
Estoques
A Regata S/A quer decidir quantos barcos produzir nos próximos 4 trimestres, de modo a satisfazer sua demanda a um menor custo:
Trim. 1 Trim. 2 Trim. 3 Trim. 4
Demanda 40 60 75 25
A Regata deve atender seus pedidos em dia. No início do 10 trimestre, 10 barcos estão em estoque.
No início de cada trimestre, a Regata deve decidir quantos barcos serão produzidos naquele trimestre.
Barcos produzidos num trimestre podem ser usados para atender à pedidos naquele mesmo trimestre (pedidos são atendidos no final do trimestre).
A Regata por produzir até 40 barcos/trimestre a um custo de barco. Para aumentar a produção, pode usar horas-extra, a um custo de $450/barco. Estocar um barco de um trimestre para outro custa barco.
Formule o problema tal que a demanda seja atendida à um mínimo custo.