d/rho d/theta = 4(cos(theta) - theta sen(theta)), -pi/2 < theta < 3pi/2
Sabe-se ainda que a trajetória de P passa pelo ponto de coordenadas(theta, rho) = (-pi/2, 1). Determinar a equação polar da respectiva trajetória.
Obs.: Observe que a equação diferencial acima é exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que relaciona rho e theta. Nosso objetivo é encontrar a equação polar que descreve a trajetória do ponto P. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais. A gente precisa integrar a equação dada e aplicar a condição inicial para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que nos foi dada:
Isso significa que a taxa de variação de rho em relação a theta é igual a . Para encontrar rho em função de theta, precisamos integrar essa expressão.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a theta:
No lado esquerdo, a integral de em relação a theta simplesmente nos dá rho:
Onde C é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos resolver a integral no lado direito:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Para a segunda parte, usamos integração por partes, onde:
  • Seja , então
  • Seja , então
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Então, juntando tudo:

Passo 5

Voltando à nossa expressão para rho:
Agora, precisamos encontrar a constante C usando a condição inicial dada: quando , .

Passo 6

Substituindo os valores na equação para encontrar C:
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora que temos o valor de C, podemos escrever a equação completa da trajetória:

Resposta

A equação polar da trajetória é:

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