Sabe-se ainda que a trajetória de passa pelo ponto de . Determinar a equação polar da respectiva trajetória.
Obs.: Observe que a equação diferencial acima é exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que relaciona e . Nosso objetivo é encontrar a equação polar que descreve a trajetória do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais. A gente precisa integrar a equação dada e aplicar a condição inicial para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que nos foi dada:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é igual a . Para encontrar em função de , precisamos integrar essa expressão.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
No lado esquerdo, a integral de em relação a simplesmente nos dá :
Onde é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos resolver a integral no lado direito:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Para a segunda parte, usamos integração por partes, onde:
  • Seja , então
  • Seja , então
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Então, juntando tudo:

Passo 5

Voltando à nossa expressão para :
Agora, precisamos encontrar a constante usando a condição inicial dada: quando , .

Passo 6

Substituindo os valores na equação para encontrar :
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora que temos o valor de , podemos escrever a equação completa da trajetória:

Resposta

A equação polar da trajetória é:

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1.1.
1.2.
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8.2. Supondo agora que para outra população a lei a considerar é
Sabendo que no ano 2000 a população tinha 100000 membros, determinar:
8.2.1. O número de membros no ano de 2100;
8.2.2. O número de membros quando .
Determine a solução da equação acima.