Sabe-se ainda que a trajetória de
passa pelo ponto de
. Determinar a equação polar da respectiva trajetória.
Obs.: Observe que a equação diferencial acima é exata.
Obs.: Observe que a equação diferencial acima é exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que relaciona
e
. Nosso objetivo é encontrar a equação polar que descreve a trajetória do ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais. A gente precisa integrar a equação dada e aplicar a condição inicial para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que nos foi dada:
Isso significa que a taxa de variação de
em relação a
é igual a
. Para encontrar
em função de
, precisamos integrar essa expressão.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
No lado esquerdo, a integral de
em relação a
simplesmente nos dá
:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos resolver a integral no lado direito:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Para a segunda parte, usamos integração por partes, onde:
- Seja
, então - Seja
, então
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Então, juntando tudo:
Passo 5
Voltando à nossa expressão para
:
Agora, precisamos encontrar a constante
usando a condição inicial dada: quando
,
.
Passo 6
Substituindo os valores na equação para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora que temos o valor de
, podemos escrever a equação completa da trajetória:
Resposta
A equação polar da trajetória é:
Exercícios relacionados
para alguma constante positiva
. Fazendo
, obtemos a equação diferencial
Se um agricultor adotou a inovação num tempo
, vemos que
satisfaz o problema de valor inicial
Assim, dê a solução do problema de valor inicial.
para qualquer escolhas das constantes
e
. Determine
e
de modo que cada uma das seguintes condições iniciais seja seja satisfeita.
1.1.
1.2.
1.1.
1.2.
onde
é uma constante positiva. Neste contexto considere-se uma população relativamente à qual se sabe que o número de indivíduos no ano de 2000 era de 10 000, sendo de 5000 no ano de 1900.
8.1. Com base nestes dados, determinar qual deverá ser o número de membros da população no ano de 2100;
8.2. Supondo agora que para outra população a lei a considerar é
8.1. Com base nestes dados, determinar qual deverá ser o número de membros da população no ano de 2100;
8.2. Supondo agora que para outra população a lei a considerar é
Sabendo que no ano 2000 a população tinha 100000 membros, determinar:
8.2.1. O número de membros no ano de 2100;
8.2.2. O número de membros quando .
8.2.1. O número de membros no ano de 2100;
8.2.2. O número de membros quando
Determine a solução da equação acima.