para qualquer escolhas das constantes
e
. Determine
e
de modo que cada uma das seguintes condições iniciais seja seja satisfeita.
1.1.
1.2.
1.1.
1.2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar as constantes
e
que satisfazem certas condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar a solução geral da equação e depois usar as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática para
, temos:
Então, as raízes são:
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições iniciais da parte 1.1, que são:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos a derivada de
:
Aplicando a condição
:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo
na Equação 1:
Passo 4
Agora, vamos para a parte 1.2, com as condições iniciais:
Usando a solução geral:
Aplicando
:
Agora, calculamos a derivada:
Aplicando
:
Temos novamente um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 3 por 2 para facilitar:
Subtraindo a Equação 4 da Equação 5:
Agora, podemos resolver para
. Mas vamos simplificar usando o valor da Equação 4:
Substituindo
na Equação 3:
Agora, substituindo
de volta para encontrar
:
Resposta
1.1. As constantes são:
1.2. As constantes são:
Exercícios relacionados
é desse tipo. Mostre por derivação e substituição que ela possui a solução geral
também a solução singular
.
Classifique as Equações Diferenciais quanto ao tipo (EDO e EDP), ordem e grau.
para alguma constante positiva
. Fazendo
, obtemos a equação diferencial
Se um agricultor adotou a inovação num tempo
, vemos que
satisfaz o problema de valor inicial
Assim, dê a solução do problema de valor inicial.
Sabe-se ainda que a trajetória de
passa pelo ponto de
. Determinar a equação polar da respectiva trajetória.
Obs.: Observe que a equação diferencial acima é exata.
Obs.: Observe que a equação diferencial acima é exata.