para qualquer escolhas das constantes e . Determine e de modo que cada uma das seguintes condições iniciais seja seja satisfeita.
1.1.
1.2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar as constantes e que satisfazem certas condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar a solução geral da equação e depois usar as condições iniciais para determinar e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática para , temos:
Então, as raízes são:
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições iniciais da parte 1.1, que são:
Primeiro, calculamos :
çã
Agora, calculamos a derivada de :
Aplicando a condição :
çã
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:

Passo 4

Agora, vamos para a parte 1.2, com as condições iniciais:
Usando a solução geral:
Aplicando :
çã
Agora, calculamos a derivada:
Aplicando :
çã
Temos novamente um sistema de duas equações:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 3 por 2 para facilitar:
çã
Subtraindo a Equação 4 da Equação 5:
Agora, podemos resolver para . Mas vamos simplificar usando o valor da Equação 4:
Substituindo na Equação 3:
Agora, substituindo de volta para encontrar :

Resposta

1.1. As constantes são:
1.2. As constantes são:

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