onde é uma constante positiva. Neste contexto considere-se uma população relativamente à qual se sabe que o número de indivíduos no ano de 2000 era de 10 000, sendo de 5000 no ano de 1900.
8.1. Com base nestes dados, determinar qual deverá ser o número de membros da população no ano de 2100;
8.2. Supondo agora que para outra população a lei a considerar é
Sabendo que no ano 2000 a população tinha 100000 membros, determinar:
8.2.1. O número de membros no ano de 2100;
8.2.2. O número de membros quando .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a primeira parte do exercício! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a população muda ao longo do tempo:
Aqui, é uma constante positiva. Sabemos que no ano 1900 a população era de 5.000 e no ano 2000 era de 10.000. Vamos usar esses dados para encontrar e depois prever a população em 2100.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e a solução geral é:
Onde é a população inicial.

Passo 3

Precisamos ajustar a equação para os dados que temos. Vamos considerar no ano 1900. Então, no ano 2000, anos e :

Passo 4

Vamos resolver para :

Passo 5

Agora que temos , vamos prever a população no ano 2100. Nesse caso, anos (desde 1900):

Passo 6

Agora vamos para a segunda parte do exercício, que envolve outra equação diferencial:
Sabemos que no ano 2000, a população era de 100.000 membros. Precisamos determinar a população em 2100 e quando tende ao infinito.

Passo 7

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada. Essa é uma equação logística, que modela o crescimento populacional considerando um limite máximo.

Passo 8

A solução geral da equação logística é:
Onde:
  • é a capacidade de suporte (limite máximo da população),
  • é a taxa de crescimento,
  • é a população inicial.
Comparando com a nossa equação:
Temos:

Passo 9

Sabendo que no ano 2000 ( ), , vamos encontrar a população em 2100 ( anos):

Passo 10

Por fim, vamos determinar o número de membros quando tende ao infinito ( ) para a mesma equação logística.

Passo 11

Na equação logística, conforme o tempo tende ao infinito, a função exponencial vai a zero:

Passo 12

Portanto, a população se aproxima da capacidade de suporte :

Resposta

8.2.2. Quando tende a infinito, a população será de 1.000.000 membros.

Exercícios relacionados

Sabe-se ainda que a trajetória de passa pelo ponto de . Determinar a equação polar da respectiva trajetória.
Obs.: Observe que a equação diferencial acima é exata.
para alguma constante positiva . Fazendo , obtemos a equação diferencial
Se um agricultor adotou a inovação num tempo , vemos que satisfaz o problema de valor inicial
Assim, dê a solução do problema de valor inicial.
Determine a solução da equação acima.
27.1. Primeiramente resolva a equação (12).
27.2. Se para todo , mostre que a solução para (12) é
onde é uma constante.
27.3. Se não é identicamente nula, suponha que a solução da equação (12) é da forma
onde agora é uma função de . Substituindo na equação diferencial por essa expressão, mostre que tem que satisfazer a condição