onde
é uma constante positiva. Neste contexto considere-se uma população relativamente à qual se sabe que o número de indivíduos no ano de 2000 era de 10 000, sendo de 5000 no ano de 1900.
8.1. Com base nestes dados, determinar qual deverá ser o número de membros da população no ano de 2100;
8.2. Supondo agora que para outra população a lei a considerar é
Sabendo que no ano 2000 a população tinha 100000 membros, determinar:
8.2.1. O número de membros no ano de 2100;
8.2.2. O número de membros quando
.
8.1. Com base nestes dados, determinar qual deverá ser o número de membros da população no ano de 2100;
8.2. Supondo agora que para outra população a lei a considerar é
8.2.1. O número de membros no ano de 2100;
8.2.2. O número de membros quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver a primeira parte do exercício! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a população muda ao longo do tempo:
Aqui,
é uma constante positiva. Sabemos que no ano 1900 a população era de 5.000 e no ano 2000 era de 10.000. Vamos usar esses dados para encontrar
e depois prever a população em 2100.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e a solução geral é:
Onde
é a população inicial.
Passo 3
Precisamos ajustar a equação para os dados que temos. Vamos considerar
no ano 1900. Então, no ano 2000,
anos e
:
Passo 4
Vamos resolver para
:
Passo 5
Agora que temos
, vamos prever a população no ano 2100. Nesse caso,
anos (desde 1900):
Passo 6
Agora vamos para a segunda parte do exercício, que envolve outra equação diferencial:
Sabemos que no ano 2000, a população era de 100.000 membros. Precisamos determinar a população em 2100 e quando
tende ao infinito.
Passo 7
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada. Essa é uma equação logística, que modela o crescimento populacional considerando um limite máximo.
Passo 8
A solução geral da equação logística é:
Onde:
-
é a capacidade de suporte (limite máximo da população), -
é a taxa de crescimento, -
é a população inicial.
Comparando com a nossa equação:
Temos:
Passo 9
Sabendo que no ano 2000 (
),
, vamos encontrar a população em 2100 (
anos):
Passo 10
Por fim, vamos determinar o número de membros quando
tende ao infinito (
) para a mesma equação logística.
Passo 11
Na equação logística, conforme o tempo tende ao infinito, a função exponencial vai a zero:
Passo 12
Portanto, a população se aproxima da capacidade de suporte
:
Resposta
8.2.2. Quando
tende a infinito, a população será de 1.000.000 membros.