Delta p = c p (N - p) Delta t => Delta p / Delta t = c p (N - p)
para alguma constante positiva c. Fazendo Delta t -> 0, obtemos a equação diferencial
d p/d t = c p (N - p)
Se um agricultor adotou a inovação num tempo t = 0, vemos que p(t) satisfaz o problema de valor inicial
dp/dt = c * p * (N - p), p(0) = 1
Assim, dê a solução do problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me deu é de cálculo diferencial, mais especificamente de equações diferenciais. O que a gente precisa fazer aqui é resolver uma equação diferencial que descreve como uma certa quantidade muda ao longo do tempo . A gente vai usar técnicas de separação de variáveis e integrar para achar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação diferencial que temos:
Aqui, e são constantes positivas. Essa equação é do tipo logística, que é comum em modelos de crescimento populacional onde há um limite máximo que a população pode atingir.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro lado.
Reescrevendo a equação:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A parte da esquerda com pode ser resolvida usando frações parciais. Vamos dividir em duas frações mais simples:
Então, a integral fica:
Resolvendo as integrais:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
onde .
Para facilitar, vamos chamar , então:

Passo 6

Agora, vamos isolar :

Passo 7

Por fim, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

Substituindo na expressão de , temos a solução do problema de valor inicial:

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