para alguma constante positiva
. Fazendo
, obtemos a equação diferencial
Se um agricultor adotou a inovação num tempo
, vemos que
satisfaz o problema de valor inicial
Assim, dê a solução do problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me deu é de cálculo diferencial, mais especificamente de equações diferenciais. O que a gente precisa fazer aqui é resolver uma equação diferencial que descreve como uma certa quantidade
muda ao longo do tempo
. A gente vai usar técnicas de separação de variáveis e integrar para achar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação diferencial que temos:
Aqui,
e
são constantes positivas. Essa equação é do tipo logística, que é comum em modelos de crescimento populacional onde há um limite máximo
que a população pode atingir.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro lado.
Reescrevendo a equação:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. A parte da esquerda com
pode ser resolvida usando frações parciais. Vamos dividir
em duas frações mais simples:
Então, a integral fica:
Resolvendo as integrais:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
onde
.
Para facilitar, vamos chamar
, então:
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Passo 7
Por fim, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
Substituindo
na expressão de
, temos a solução do problema de valor inicial: