para alguma constante positiva . Fazendo , obtemos a equação diferencial
Se um agricultor adotou a inovação num tempo , vemos que satisfaz o problema de valor inicial
Assim, dê a solução do problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me deu é de cálculo diferencial, mais especificamente de equações diferenciais. O que a gente precisa fazer aqui é resolver uma equação diferencial que descreve como uma certa quantidade muda ao longo do tempo . A gente vai usar técnicas de separação de variáveis e integrar para achar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação diferencial que temos:
Aqui, e são constantes positivas. Essa equação é do tipo logística, que é comum em modelos de crescimento populacional onde há um limite máximo que a população pode atingir.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro lado.
Reescrevendo a equação:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A parte da esquerda com pode ser resolvida usando frações parciais. Vamos dividir em duas frações mais simples:
Então, a integral fica:
Resolvendo as integrais:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
onde .
Para facilitar, vamos chamar , então:

Passo 6

Agora, vamos isolar :

Passo 7

Por fim, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

Substituindo na expressão de , temos a solução do problema de valor inicial:

Exercícios relacionados

para qualquer escolhas das constantes e . Determine e de modo que cada uma das seguintes condições iniciais seja seja satisfeita.
1.1.
1.2.
é desse tipo. Mostre por derivação e substituição que ela possui a solução geral também a solução singular .
Sabe-se ainda que a trajetória de passa pelo ponto de . Determinar a equação polar da respectiva trajetória.
Obs.: Observe que a equação diferencial acima é exata.
onde é uma constante positiva. Neste contexto considere-se uma população relativamente à qual se sabe que o número de indivíduos no ano de 2000 era de 10 000, sendo de 5000 no ano de 1900.
8.1. Com base nestes dados, determinar qual deverá ser o número de membros da população no ano de 2100;
8.2. Supondo agora que para outra população a lei a considerar é
Sabendo que no ano 2000 a população tinha 100000 membros, determinar:
8.2.1. O número de membros no ano de 2100;
8.2.2. O número de membros quando .